Utilize o Teorema do Confronto para mostrar que \lim _{x \rightarrow 0} x^{2} \cos \frac{1}{x}=0. Por que não podemos usar a propriedade de produto de limites nesse caso?

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0} x^{2}\cos\frac{1}{x}
usando o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem). Vamos precisar do fato de que \cos\theta é sempre entre -1 e 1, e do limite de x^2 quando x\to0.

Passo 2

Como para todo x\neq0 vale
-1 \le \cos\frac{1}{x} \le 1,
multiplicando essa desigualdade por x^2 (que é não negativo), obtemos
-x^2 \le x^2\cos\frac{1}{x} \le x^2.

Passo 3

Calculamos os limites das funções que “emolduram” x^2\cos\frac{1}{x}:
\lim_{x\to0}(-x^2)=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0}x^2=0.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como
-x^2 \le x^2\cos\frac{1}{x}\le x^2
e ambos os limites das extremas são 0, segue
\lim_{x\to0}x^2\cos\frac{1}{x}=0.

Passo 5

Não podemos usar a propriedade de produto de limites aqui porque ela exige que cada fator tenha limite quando x\to0. Embora \lim_{x\to0}x^2=0 exista, o limite \lim_{x\to0}\cos\frac{1}{x} não existe (coseno oscila indefinidamente). Como um dos limites não existe, não podemos aplicar diretamente \lim(fg)=\lim f\cdot\lim g.

Resposta

\lim_{x\to0}x^{2}\cos\frac{1}{x}=0.
Não se pode usar produto de limites porque \lim_{x\to0}\cos\frac{1}{x} não existe.

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