Calcular
, onde
é a porção da esfera
que está dentro do cilindro
.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região
dentro da esfera
e também dentro do cilindro
O conteúdo aqui envolve coordenadas cilíndricas e integração tripla para volume. Vamos usar
onde o elemento de volume é
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas a condição do cilindro
vira
e só existe região quando
, ou seja
. A esfera vira
Passo 3
O volume é
Integramos primeiro em
:
ficando
Passo 4
Para a integral em
fazemos
,
. Quando
,
; quando
,
. Logo
Como
,
é simétrico.
Passo 5
Substituindo de volta no volume,
Temos
e, por simetria,
Passo 6
Portanto