Calcular integral triplaT d V, onde T é a porção da esfera x^2+y^2+z^2=1 que está dentro do cilindro x^2+y^2=y.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região T dentro da esfera
x^2+y^2+z^2=1
e também dentro do cilindro
x^2+y^2=y
O conteúdo aqui envolve coordenadas cilíndricas e integração tripla para volume. Vamos usar
x=rcostheta, y=rsintheta, z=z,
onde o elemento de volume é dV = r,dr,dtheta,dz.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas a condição do cilindro x^2+y^2<= y vira
r^2<= rsintheta Longrightarrow r<=sintheta,
e só existe região quando sintheta>=0, ou seja thetain[0,pi]. A esfera vira
r^2+z^2<=1 Longrightarrow -raiz1-r^2<= z<=raiz1-r^2

Passo 3

O volume é
integral triplaTdV =integraltheta=0^piintegralr=0^sinthetaintegralz=-raiz1-r^2^raiz1-r^2 r,dz,dr,dtheta
Integramos primeiro em z:
integral-raiz1-r^2^raiz1-r^2dz =2raiz1-r^2,
ficando
integral triplaTdV =2integral0^pi!!dthetaintegral0^sinthetarraiz1-r^2,dr

Passo 4

Para a integral em r fazemos u=1-r^2, du=-2r,dr. Quando r=0, u=1; quando r=sintheta, u=cos^2theta. Logo
integral0^sinthetarraiz1-r^2,dr =-tfrac12integralu=1^u=cos^2thetau^1/2du =-tfrac13l[u^3/2r]1^cos^2theta =tfrac13l(1-|costheta|^3r)
Como thetain[0,pi], |costheta| é simétrico.

Passo 5

Substituindo de volta no volume,
integral triplaTdV =2integral0^pi13l(1-|costheta|^3r)dtheta =23l[integral0^pi1,dtheta-integral0^pi|costheta|^3dthetar]
Temos integral0^pi1,dtheta=pi e, por simetria,
integral0^pi|costheta|^3dtheta =2integral0^pi/2cos^3theta,dtheta =2cdot23 =43

Passo 6

Portanto
integral triplaTdV =23l(pi-tfrac43r) =2pi3-89 =6pi-89

Resposta

boxed6pi-89

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