a) Utilize a série de potências da função h(x)=11-x,|x|<1, para determinar uma série de potências para f(x)=x^2(1-x^3)^2, encontrando o raio de convergência: b) Utilize o item a) para provar que sumn=1^infty n cdot(-1)^3 n-12^3 n-1=(23)^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem dois pontos no exercício:
a) A gente precisa usar a série de potências da função h(x) = 11 - x (válida para |x| < 1 ) para encontrar uma série de potências para f(x) = x^2(1 - x^3)^2 e determinar o raio de convergência.
Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular séries de potências, derivar termos de séries e aplicar regras de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a série de potências da função h(x) = 11 - x é uma série geométrica bem conhecida:
h(x) = 11 - x = sumn=0^infty x^n para |x| < 1

Passo 3

Agora, queremos uma série para 1(1 - x^3)^2 . Sabemos que se derivarmos h(x) , podemos obter uma série para 1(1 - x)^2 :
h'(x) = ddx( 11 - x ) = 1(1 - x)^2 = sumn=1^infty n x^n-1
Multiplicando ambos os lados por x , temos:
x(1 - x)^2 = sumn=1^infty n x^n

Passo 4

No nosso caso, temos 1 - x^3 em vez de 1 - x . Vamos fazer uma substituição y = x^3 :
1(1 - y)^2 = sumn=1^infty n y^n-1 = sumn=1^infty n x^3(n-1)
Multiplicando por y para ajustar os índices:
y(1 - y)^2 = sumn=1^infty n x^3n - 3 = sumn=1^infty n x^3(n - 1)

Passo 5

Agora, substituindo de volta y = x^3 :
x^3(1 - x^3)^2 = sumn=1^infty n x^3n - 3
Multiplicando ambos os lados por x^2 para obter f(x) = x^2(1 - x^3)^2 :
f(x) = x^2 cdot x^3(1 - x^3)^2 = sumn=1^infty n x^3n - 1

Passo 6

Então, a série de potências para f(x) é:
f(x) = sumn=1^infty n x^3n - 1
Para encontrar o raio de convergência, observamos que a série original h(x) converge para |x| < 1 . Como fizemos substituições que envolvem x^3 , o raio de convergência permanece, mas em termos de x :
|x^3| < 1 implies |x| < 1
Então, o raio de convergência é 1.

Resposta

A série de potências para f(x) = x^2(1 - x^3)^2 é:
f(x) = sumn=1^infty n x^3n - 1
E o raio de convergência dessa série é 1.

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