a) Utilize a série de potências da função
, para determinar uma série de potências para
, encontrando o raio de convergência: b) Utilize o item a) para provar que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem dois pontos no exercício:
a) A gente precisa usar a série de potências da função
(válida para
) para encontrar uma série de potências para
e determinar o raio de convergência.
Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular séries de potências, derivar termos de séries e aplicar regras de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a série de potências da função
é uma série geométrica bem conhecida:
Passo 3
Agora, queremos uma série para
. Sabemos que se derivarmos
, podemos obter uma série para
:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 4
No nosso caso, temos
em vez de
. Vamos fazer uma substituição
:
Multiplicando por
para ajustar os índices:
Passo 5
Agora, substituindo de volta
:
Multiplicando ambos os lados por
para obter
:
Passo 6
Então, a série de potências para
é:
Para encontrar o raio de convergência, observamos que a série original
converge para
. Como fizemos substituições que envolvem
, o raio de convergência permanece, mas em termos de
:
Então, o raio de convergência é 1.
Resposta
A série de potências para
é:
E o raio de convergência dessa série é 1.