Calcular integral duplaR raizx^2+y^2 d x d y, sendo R a região limitada pelas curvas x^2+ y^2=4 x, y=x e y=raiz33 x.

Passo 1

O enunciado pede a integral dupla de raizx^2+y^2 sobre a região R limitada pela circunferência
x^2+y^2=4x
e pelas retas
y=x, y=raiz33x
O conteúdo da matéria é mudança para coordenadas polares, onde usamos
x=rcostheta, y=rsintheta, dA = r,dr,dtheta, raizx^2+y^2=r

Passo 2

Em coordenadas polares a curva x^2+y^2=4x vira
r^2=4rcosthetaLongrightarrow r=4costheta
As retas y=x e y=tfracraiz33x correspondem a
theta=pi4, theta=pi6,
respectivamente. Logo o domínio em polares é
0<= r<=4costheta, pi6<=theta<=pi4

Passo 3

Substituindo na integral temos
integral duplaRraizx^2+y^2,dA =integraltheta=pi/6^pi/4integralr=0^4costhetar,(r,dr,dtheta) =integralpi/6^pi/4integral0^4costhetar^2,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em r:
integral0^4costhetar^2,dr =(4costheta)^33 =64cos^3theta3
Assim a integral fica
643integralpi/6^pi/4cos^3theta,dtheta

Passo 5

Usamos cos^3theta=costheta,(1-sin^2theta) e a substituição u=sintheta, du=costheta,dtheta:
integralcos^3theta,dtheta =integralcostheta,dtheta-integralcostheta,sin^2theta,dtheta =sintheta-sin^3theta3
Avaliando de theta=pi/6 a theta=pi/4
(sinpi4-sin^3pi43) -(sinpi6-sin^3pi63) =5raiz212-1124 =10raiz2-1124

Passo 6

Multiplicando pelo fator tfrac643 obtemos
643cdot10raiz2-1124 =89,l(10raiz2-11r)

Resposta

89,l(10raiz2-11r)

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