x^3+m x^2+15 x-25=0
Considerando o conjunto dos números complexos, apresente todas as raízes dessa equação.

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio cúbico
x^3+m,x^2+15,x-25=0
e pede todas as raízes em C. O conteúdo aqui é a fórmula de Cardano para resolver equações cúbicas gerais. Primeiro vamos “deprimir” o cúbico eliminando o termo quadrático com a substituição
x = y - m3

Passo 2

Fazendo x = y - tfracm3 na equação original e coletando termos, obtemos um cúbico deprimido
y^3 + p,y + q = 0,
onde, após expandir e agrupar,
p = 15 - m^23, q = -2,m^327 + 5,m3 - 25

Passo 3

Definimos o discriminante auxiliar
De<a = l(tfracq2r)^2 ;+;l(tfracp3r)^3
Ele indica se as raízes são reais ou complexas, mas vale em todo caso para montar as expressões de Cardano.

Passo 4

As quantidades-chave de Cardano são
U = raiz[3] -q2 + raizDe<a , V = raiz[3] -q2 - raizDe<a

Passo 5

Então as três raízes y1,y2,y3 do cúbico deprimido são
y1 = U + V,
y2 = -tfrac12(U+V) ;+; i,tfracraiz32,(U-V),
y3 = -tfrac12(U+V) ;-; i,tfracraiz32,(U-V)

Passo 6

Voltando à variável original ,x = y - tfracm3, as raízes deste polinômio são
xk = yk ;-;m3, k=1,2,3

Resposta

x1 = U + V ;-;m3,
x2 = -tfrac12(U+V) + i,tfracraiz32,(U-V) ;-;m3,
x3 = -tfrac12(U+V) - i,tfracraiz32,(U-V) ;-;m3,
com
p = 15 - m^23, q = -2,m^327 + 5,m3 - 25, De<a = l(tfracq2r)^2 + l(tfracp3r)^3,
U = raiz[3] -q2 + raizDe<a , V = raiz[3] -q2 - raizDe<a

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