Considerando o conjunto dos números complexos, apresente todas as raízes dessa equação.
Passo 1
O enunciado nos dá o polinômio cúbico
e pede todas as raízes em
. O conteúdo aqui é a fórmula de Cardano para resolver equações cúbicas gerais. Primeiro vamos “deprimir” o cúbico eliminando o termo quadrático com a substituição
Passo 2
Fazendo
na equação original e coletando termos, obtemos um cúbico deprimido
onde, após expandir e agrupar,
Passo 3
Definimos o discriminante auxiliar
Ele indica se as raízes são reais ou complexas, mas vale em todo caso para montar as expressões de Cardano.
Passo 4
As quantidades-chave de Cardano são
Passo 5
Então as três raízes
do cúbico deprimido são
Passo 6
Voltando à variável original
, as raízes deste polinômio são
Resposta
com