Sendo \vec{u}=(1,-1,2), \vec{v}=(1,2,3) e \vec{w}=(-1,2,3). Calcular um vetor \vec{r}=(x, y, z), tal que \vec{r} \cdot \vec{u}=1, \vec{r} \cdot \vec{v}=-13 e \vec{r} \times \vec{w}=(-8,-1,-2).
Passo 1
O enunciado dá três vetores \vec{u}=(1,-1,2), \vec{v}=(1,2,3) e \vec{w}=(-1,2,3) e pede para encontrar um vetor \vec{r}=(x,y,z) tal que satisfaz três condições:
\vec{r}\cdot\vec{u}=1,
\vec{r}\cdot\vec{v}=-13,
\vec{r}\times\vec{w}=(-8,-1,-2).
As informações relevantes são exatamente os componentes de \vec{u},\vec{v},\vec{w} e os três vetoriais/escalares que \vec{r} deve produzir com produto escalar e produto vetorial.
Passo 2
Vamos escrever as duas equações obtidas pelos produtos escalares usando a definição do produto escalar: para \vec{r}=(x,y,z) e \vec{a}=(a_1,a_2,a_3) temos
\vec{r}\cdot\vec{a}=x a_1 + y a_2 + z a_3.
Aplicando isso a \vec{u} e \vec{v} obtemos duas equações lineares em x,y,z:
\vec{r}\cdot\vec{u}=x - y + 2z = 1,
\vec{r}\cdot\vec{v}=x + 2y + 3z = -13.
Passo 3
Agora usamos o produto vetorial. Para \vec{r}=(x,y,z) e \vec{w}=(-1,2,3) podemos calcular \vec{r}\times\vec{w} pelo determinante formal:
\vec{r}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ x & y & z \\\\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix}.
Isso gera as componentes (cada uma obtida expandindo o determinante):
primeira componente:
3y - 2z,
segunda componente:
-(3x + z) \quad\text{(observe o sinal negativo vindo da expansão pela coluna \(\mathbf{j}\))},ã
terceira componente:
2x + y.
O enunciado nos diz que esse produto vetorial vale (-8,-1,-2), então igualamos componentes e obtemos:
Note que das três equações do produto vetorial uma (a segunda) já foi escrita como 3x+z=1 e a terceira dá y=-2-2x. A primeira das equações do produto vetorial pode ser verificada para consistência depois; vamos usar as duas últimas para expressar y e z em função de x:
Da equação
2x + y = -2
temos
y = -2 - 2x.
Da equação
3x + z = 1
temos
z = 1 - 3x.
Passo 5
Substituímos y e z nas equações obtidas pelos produtos escalares para determinar x. Use a equação \vec{r}\cdot\vec{u}=1, que é
x - y + 2z = 1.
Substituindo y=-2-2x e z=1-3x:
x - (-2-2x) + 2(1-3x) = 1.
Agora desenvolvemos passo a passo:
x + 2 + 2x + 2 - 6x = 1,
( x + 2x - 6x ) + (2 + 2) = 1,
-3x + 4 = 1,
-3x = -3,
x = 1.
Passo 6
Com x=1 encontramos y e z pelas expressões anteriores:
y = -2 - 2x = -2 - 2\cdot 1 = -4,
z = 1 - 3x = 1 - 3\cdot 1 = -2.
Passo 7
Vamos checar rapidamente se essas componentes satisfazem todas as equações, inclusive a segunda equação do produto escalar e a primeira componente do produto vetorial:
Verificação do produto escalar com \vec{v}: