Exercício 7. Considere as bases ordenadas \mathcal{B}=\left\{p_{0}, p_{1}, p_{2}\right\} e \mathcal{C}=\left\{q_{0}, q_{1}, q_{2}\right\} do espaço vetorial real \left(\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}),+, \cdot\right), onde
p_{0}(t)=1, \quad p_{1}(t)=1+t, \quad p_{2}(t)=1+t^{2}, \text { para } t \in \mathbb{R}
e
q_{0}(t)=t^{2}, \quad q_{1}(t)=t, \quad q_{2}(t)=1, \text { para } t \in \mathbb{R}
(a) encontre as matrizes de mudança
  • da base \mathcal{B}, para a base \mathcal{C}, isto é M_{\mathcal{B} \mathcal{C}},
  • da base \mathcal{C}, para a base \mathcal{B}, isto é M_{\mathcal{C} \mathcal{B}}.
    (b) \operatorname{Se}[v]_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{c}1 \\\\ -4 \\\\ 6\end{array}\right), encontre [v]_{C}.
    (c) se [v]_{\mathcal{C}}=\left(\begin{array}{c}8 \\\\ -1 \\\\ 3\end{array}\right), encontre [v]_{\mathcal{B}}.
    (d) se a base D=\left\{r_{0}, r_{1}, r_{2}\right\} é a base canônica do espaço vetorial real ( \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}),+, \cdot ), encontre as matrizes de mudança
  • da base \mathcal{B}, para a base \mathcal{D},
  • da base \mathcal{D}, para a base \mathcal{C}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases ordenadas do espaço dos polinômios de grau ≤ 2:
\mathcal{B}=\{p_{0},p_{1},p_{2}\},\quad p_{0}(t)=1,\;p_{1}(t)=1+t,\;p_{2}(t)=1+t^{2},
\mathcal{C}=\{q_{0},q_{1},q_{2}\},\quad q_{0}(t)=t^{2},\;q_{1}(t)=t,\;q_{2}(t)=1.
As tarefas pedidas são:
(a) encontrar as matrizes de mudança de coordenadas
  • M_{\mathcal{B}\mathcal{C}} (da base \mathcal{B} para \mathcal{C}),
  • M_{\mathcal{C}\mathcal{B}} (da base \mathcal{C} para \mathcal{B});
    (b) dado [v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1\\\ -4\\\ 6\end{pmatrix}, achar [v]_{\mathcal{C}};
    (c) dado [v]_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}8\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}, achar [v]_{\mathcal{B}};
    (d) sendo \mathcal{D}=\{r_{0},r_{1},r_{2}\} a base canônica (isto é r_{0}=1,\;r_{1}=t,\;r_{2}=t^{2}), encontrar as matrizes de mudança
  • de \mathcal{B} para \mathcal{D},
  • de \mathcal{D} para \mathcal{C}.
    Nada mais será assumido: vamos calcular coordenadas escrevendo cada vetor de uma base como combinação linear da outra base.

Passo 2

Conceito prático (gentil e direto): a matriz de mudança de \mathcal{B} para \mathcal{C}, chamada M_{\mathcal{B}\mathcal{C}}, é a matriz que satisfaz
[v]_{\mathcal{C}} = M_{\mathcal{B}\mathcal{C}} \,[v]_{\mathcal{B}}
para qualquer vetor (polinômio) v. Constrói-se M_{\mathcal{B}\mathcal{C}} colocando, como colunas, as coordenadas de cada vetor de \mathcal{B} expressas na base \mathcal{C}. Ou seja: para cada p_i\in\mathcal{B} escreva
p_i = \alpha_{i0} q_0 + \alpha_{i1} q_1 + \alpha_{i2} q_2,
o vetor coluna (\alpha_{i0},\alpha_{i1},\alpha_{i2})^{T} é a i-ésima coluna de M_{\mathcal{B}\mathcal{C}}. A mesma ideia vale invertendo as bases para M_{\mathcal{C}\mathcal{B}}.
Vou aplicar isso explicitamente: comparar coeficientes dos monômios t^2,t,1 — lembrando sempre a ordem das coordenadas na base destino.

Passo 3

Construindo M_{\mathcal{B}\mathcal{C}}: escrever cada p_i em termos de q_0=t^2,\;q_1=t,\;q_2=1.
Para p_{0}(t)=1:
1 = 0\cdot t^{2} + 0\cdot t + 1\cdot 1,
então as coordenadas de p_0 em \mathcal{C} são \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Para p_{1}(t)=1+t:
1+t = 0\cdot t^{2} + 1\cdot t + 1\cdot 1,
então as coordenadas de p_1 em \mathcal{C} são \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para p_{2}(t)=1+t^{2}:
1+t^{2} = 1\cdot t^{2} + 0\cdot t + 1\cdot 1,
então as coordenadas de p_2 em \mathcal{C} são \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Colocando essas colunas na ordem p_0,p_1,p_2 obtemos
M_{\mathcal{B}\mathcal{C}}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
(Recordando: as linhas correspondem às coordenadas nas funções q_0=t^2,\;q_1=t,\;q_2=1, respectivamente.)]

Passo 4

Construindo [M_{\mathcal{C}\mathcal{B}}): escrever cada q_j como combinação linear de p_0,p_1,p_2. Faço isso igualando coeficientes.
Para q_{0}(t)=t^{2}, procuro a,b,c tais que
t^{2} = a\cdot p_{0} + b\cdot p_{1} + c\cdot p_{2} = a(1) + b(1+t) + c(1+t^{2}).
Expandindo:
t^{2} = (a+b+c) + b t + c t^{2}.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} c = 1,\\\ b = 0,\\\ a+b+c = 0 \Rightarrow a + 0 + 1 = 0 \Rightarrow a=-1. \end{cases}
Logo coordenadas de q_0\] em \[\mathcal{B} são \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Para q_{1}(t)=t, escrevo
t = a + b(1+t) + c(1+t^{2}) = (a+b+c) + b t + c t^{2}.
Comparando:
\begin{cases} c = 0,\\\ b = 1,\\\ a+b+c = 0 \Rightarrow a+1+0=0 \Rightarrow a=-1. \end{cases}
Coordenadas de q_1\] em \(\mathcal{B} são \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Para q_{2}(t)=1, temos imediatamente
1 = 1\cdot p_{0} + 0\cdot p_{1} + 0\cdot p_{2},
então coordenadas são \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Colocando essas colunas na ordem q_0,q_1,q_2 obtemos
M_{\mathcal{C}\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Pequena verificação (útil na prova): multiplicando M_{\mathcal{C}\mathcal{B}}\,M_{\mathcal{B}\mathcal{C}} obtemos a identidade I_3. Isso mostra que as matrizes são inversas entre si (quem vai para \mathcal{C} e volta para \mathcal{B} retorna o vetor). Fiz a multiplicação mental/algébrica e confirma-se M_{\mathcal{C}\mathcal{B}} = (M_{\mathcal{B}\mathcal{C}})^{-1}.

Passo 6

Parte (b): calcular [v]_{\mathcal{C}} = M_{\mathcal{B}\mathcal{C}}\,[v]_{\mathcal{B}}, com [v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1\\\ -4\\\ 6\end{pmatrix}.
Faço produto coluna a coluna (ou por multiplicação matricial):
[v]_{\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[4pt]-4\\[4pt]6\end{pmatrix} = 1\cdot\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} +(-4)\cdot\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} +6\cdot\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Calculando coordenada a coordenada:
\begin{pmatrix} 0\cdot1 + 0\cdot(-4) + 1\cdot6\\[4pt] 0\cdot1 + 1\cdot(-4) + 0\cdot6\\[4pt] 1\cdot1 + 1\cdot(-4) + 1\cdot6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\[4pt]-4\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Portanto [v]_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}6\\\ -4\\\ 3\end{pmatrix}.]

Passo 7

Parte (c): calcular [v]_{\mathcal{B}} = M_{\mathcal{C}\mathcal{B}}\,[v]_{\mathcal{C}}, com [v]_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}8\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}.
Multiplicando:
[v]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}8\\[4pt]-1\\[4pt]3\end{pmatrix} = 8\cdot\begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix} +(-1)\cdot\begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} +3\cdot\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Calculando:
\begin{pmatrix} 8(-1) + (-1)(-1) + 3(1)\\[4pt] 8(0) + (-1)(1) + 3(0)\\[4pt] 8(1) + (-1)(0) + 3(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\[4pt]-1\\[4pt]8\end{pmatrix}.
Assim [v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}-4\\\ -1\\\ 8\end{pmatrix}.]

Passo 8

Parte (d): base canônica \mathcal{D}=\{r_0=1,\;r_1=t,\;r_2=t^2\}. Vou obter:
  • M_{\mathcal{B}\mathcal{D}} (de \mathcal{B} para \mathcal{D}): colocar como colunas as coordenadas dos p_i na base canônica (isto é, simplesmente os coeficientes do polinômio escritos na ordem (1,t,t^2)).
Para p_0=1 as coordenadas em \mathcal{D} são \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Para p_1=1+t são \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Para p_2=1+t^{2} são \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Logo
M_{\mathcal{B}\mathcal{D}} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
  • M_{\mathcal{D}\mathcal{C}} (de \mathcal{D} para \mathcal{C}): escrever cada vetor da base canônica em coordenadas da base \mathcal{C}=\{t^2,t,1\}. Para r_0=1 já sabemos: em \mathcal{C} fica \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}. Para r_1=t fica \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}. Para r_2=t^2 fica \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Colocando na ordem r_0,r_1,r_2 como colunas:
M_{\mathcal{D}\mathcal{C}} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Observação útil: essa é uma matriz de permutação que transforma coordenadas na ordem (1,t,t^2) para a ordem (t^2,t,1). Também vale a relação de composição
M_{\mathcal{B}\mathcal{C}} = M_{\mathcal{D}\mathcal{C}}\,M_{\mathcal{B}\mathcal{D}},
o que é conveniente checar em prova se quiser confirmar os cálculos.]

Resposta

(a) M_{\mathcal{B}\mathcal{C}}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix},\qquad M_{\mathcal{C}\mathcal{B}}= \begin{pmatrix} -1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
(b) [v]_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}6\\[4pt]-4\\[4pt]3\end{pmatrix}
(c) [v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}-4\\[4pt]-1\\[4pt]8\end{pmatrix}
(d) M_{\mathcal{B}\mathcal{D}}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix},\qquad M_{\mathcal{D}\mathcal{C}}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}]

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