Exercício 7. Considere as bases ordenadas \mathcal{B}=\left\{p_{0}, p_{1}, p_{2}\right\} e \mathcal{C}=\left\{q_{0}, q_{1}, q_{2}\right\} do espaço vetorial real \left(\mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}),+, \cdot\right), onde
p_{0}(t)=1, \quad p_{1}(t)=1+t, \quad p_{2}(t)=1+t^{2}, \text { para } t \in \mathbb{R}
e
q_{0}(t)=t^{2}, \quad q_{1}(t)=t, \quad q_{2}(t)=1, \text { para } t \in \mathbb{R}
(a) encontre as matrizes de mudança
da base \mathcal{B}, para a base \mathcal{C}, isto é M_{\mathcal{B} \mathcal{C}},
da base \mathcal{C}, para a base \mathcal{B}, isto é M_{\mathcal{C} \mathcal{B}}.
(b) \operatorname{Se}[v]_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{c}1 \\\\ -4 \\\\ 6\end{array}\right), encontre [v]_{C}.
(c) se [v]_{\mathcal{C}}=\left(\begin{array}{c}8 \\\\ -1 \\\\ 3\end{array}\right), encontre [v]_{\mathcal{B}}.
(d) se a base D=\left\{r_{0}, r_{1}, r_{2}\right\} é a base canônica do espaço vetorial real ( \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}),+, \cdot ), encontre as matrizes de mudança
da base \mathcal{B}, para a base \mathcal{D},
da base \mathcal{D}, para a base \mathcal{C}.
Passo 1
O enunciado dá duas bases ordenadas do espaço dos polinômios de grau ≤ 2:
As tarefas pedidas são:
(a) encontrar as matrizes de mudança de coordenadas
M_{\mathcal{B}\mathcal{C}} (da base \mathcal{B} para \mathcal{C}),
M_{\mathcal{C}\mathcal{B}} (da base \mathcal{C} para \mathcal{B});
(b) dado [v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1\\\ -4\\\ 6\end{pmatrix}, achar [v]_{\mathcal{C}};
(c) dado [v]_{\mathcal{C}}=\begin{pmatrix}8\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}, achar [v]_{\mathcal{B}};
(d) sendo \mathcal{D}=\{r_{0},r_{1},r_{2}\} a base canônica (isto é r_{0}=1,\;r_{1}=t,\;r_{2}=t^{2}), encontrar as matrizes de mudança
de \mathcal{B} para \mathcal{D},
de \mathcal{D} para \mathcal{C}.
Nada mais será assumido: vamos calcular coordenadas escrevendo cada vetor de uma base como combinação linear da outra base.
Passo 2
Conceito prático (gentil e direto): a matriz de mudança de \mathcal{B} para \mathcal{C}, chamada M_{\mathcal{B}\mathcal{C}}, é a matriz que satisfaz
para qualquer vetor (polinômio) v. Constrói-se M_{\mathcal{B}\mathcal{C}} colocando, como colunas, as coordenadas de cada vetor de \mathcal{B} expressas na base \mathcal{C}. Ou seja: para cada p_i\in\mathcal{B} escreva
o vetor coluna (\alpha_{i0},\alpha_{i1},\alpha_{i2})^{T} é a i-ésima coluna de M_{\mathcal{B}\mathcal{C}}. A mesma ideia vale invertendo as bases para M_{\mathcal{C}\mathcal{B}}.
Vou aplicar isso explicitamente: comparar coeficientes dos monômios t^2,t,1 — lembrando sempre a ordem das coordenadas na base destino.
Passo 3
Construindo M_{\mathcal{B}\mathcal{C}}: escrever cada p_i em termos de q_0=t^2,\;q_1=t,\;q_2=1.
Para p_{0}(t)=1:
1 = 0\cdot t^{2} + 0\cdot t + 1\cdot 1,
então as coordenadas de p_0 em \mathcal{C} são \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Para p_{1}(t)=1+t:
1+t = 0\cdot t^{2} + 1\cdot t + 1\cdot 1,
então as coordenadas de p_1 em \mathcal{C} são \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.
Para p_{2}(t)=1+t^{2}:
1+t^{2} = 1\cdot t^{2} + 0\cdot t + 1\cdot 1,
então as coordenadas de p_2 em \mathcal{C} são \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Colocando essas colunas na ordem p_0,p_1,p_2 obtemos
Pequena verificação (útil na prova): multiplicando M_{\mathcal{C}\mathcal{B}}\,M_{\mathcal{B}\mathcal{C}} obtemos a identidade I_3. Isso mostra que as matrizes são inversas entre si (quem vai para \mathcal{C} e volta para \mathcal{B} retorna o vetor). Fiz a multiplicação mental/algébrica e confirma-se M_{\mathcal{C}\mathcal{B}} = (M_{\mathcal{B}\mathcal{C}})^{-1}.
Passo 6
Parte (b): calcular [v]_{\mathcal{C}} = M_{\mathcal{B}\mathcal{C}}\,[v]_{\mathcal{B}}, com [v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}1\\\ -4\\\ 6\end{pmatrix}.
Faço produto coluna a coluna (ou por multiplicação matricial):
Assim [v]_{\mathcal{B}}=\begin{pmatrix}-4\\\ -1\\\ 8\end{pmatrix}.]
Passo 8
Parte (d): base canônica \mathcal{D}=\{r_0=1,\;r_1=t,\;r_2=t^2\}. Vou obter:
M_{\mathcal{B}\mathcal{D}} (de \mathcal{B} para \mathcal{D}): colocar como colunas as coordenadas dos p_i na base canônica (isto é, simplesmente os coeficientes do polinômio escritos na ordem (1,t,t^2)).
Para p_0=1 as coordenadas em \mathcal{D} são \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Para p_1=1+t são \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Para p_2=1+t^{2} são \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Logo
M_{\mathcal{D}\mathcal{C}} (de \mathcal{D} para \mathcal{C}): escrever cada vetor da base canônica em coordenadas da base \mathcal{C}=\{t^2,t,1\}. Para r_0=1 já sabemos: em \mathcal{C} fica \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}. Para r_1=t fica \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}. Para r_2=t^2 fica \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}. Colocando na ordem r_0,r_1,r_2 como colunas:
Observação útil: essa é uma matriz de permutação que transforma coordenadas na ordem (1,t,t^2) para a ordem (t^2,t,1). Também vale a relação de composição