Sejam
um grupo e
um subconjunto de não vazio de
. Mostre que
é o menor subgrupo de
contendo
e que
é a interseção de todos os subgrupos de
que contém
.
Passo 1
O enunciado dá:
-
é um grupo. -
é um subconjunto não vazio de .
O enunciado pede duas coisas, relacionadas:
- Mostrar que
é o menor subgrupo de que contém . - Mostrar que
é a interseção de todos os subgrupos de que contêm ; isto é, .
Não vou resolver nada aqui; apenas deixei claro o que foi dado e o que precisa ser provado.
Passo 2
Definição explícita (útil para provar propriedades): vou tomar
como o conjunto de todos os produtos finitos de elementos de
e de seus inversos. Formalmente,
Aqui a convenção
significa produto vazio, que é a identidade do grupo; assim a identidade pertence a
.
Comentário didático: essa é a maneira padrão de “gerar” um subgrupo a partir de
: pegar elementos de
, permitir repetições, permitir inverter cada elemento e multiplicar um número finito desses termos.
Passo 3
Provar que
contém
.
Tomemos
. Escolhendo
e
na definição acima, obtemos
. Logo
.
Pequeno reforço: é sempre boa prática verificar que a construção realmente inclui os geradores originais.
Passo 4
Provar que
é um subgrupo de
.
Para mostrar que um subconjunto
de
é subgrupo, basta mostrar que (i) contém a identidade, (ii) é fechado sob produto e (iii) fechado sob inversos (ou usar o critério de subgrupo finito/alternativo, mas aqui faremos diretamente).
-
Identidade: pelo comentário da definição com
, o produto vazio é a identidade . Assim . -
Fechamento por produto: pegue dois elementos quaisquer da forma
e com e . Então o produto é simplesmente a concatenação da palavra que é outra expressão do mesmo tipo (produto finito de elementos deou seus inversos). Logo . -
Fechamento por inversos: para
, o inverso em é ou seja, inverter cada expoente e reverter a ordem. Como cadae cada , a palavra acima pertence a . Assim .
Portanto
satisfaz identidade, fechamento e inversos, logo é um subgrupo de
.
Passo 5
Provar a propriedade de mínimo:
está contido em qualquer subgrupo de
que contenha
.
Seja
um subgrupo tal que
. Como
é subgrupo ele é fechado sob inversos e produtos finitos. Assim todo elemento da forma
(com
e
) pertence a
: os fatores
estão em
por hipótese, seus inversos também estão em
, e a multiplicação finita fica em
por fechamento. Consequentemente cada elemento de
está em
. Logo
Esse é o ponto-chave: a construção por palavras finitas garante que qualquer subgrupo que contenha os geradores também contenha todas as combinações possíveis.
Passo 6
Concluir que
é o menor subgrupo de
que contém
.
Já mostramos que
é um subgrupo e que
. Além disso, por Passo 5,
está contido em qualquer outro subgrupo
com
. Isso é exatamente a definição de “menor”:
é um subgrupo que contém
e é contido em todos os subgrupos que contenham
. Portanto
é o menor subgrupo de
que contém
.
Pequeno encorajamento: esse tipo de argumento (construir algo e mostrar que está em todo outro candidato) é muito usado em álgebra — você está indo bem ao aprender a pensar assim.
Passo 7
Mostrar que
é a interseção de todos os subgrupos de
que contêm
.
Defina
ou seja,
é a interseção de todos os subgrupos de
que contêm
. Primeiro,
é um subgrupo de
(interseção arbitrária de subgrupos é subgrupo; a prova é direta: interseção contém identidade, e é fechada porque cada membro tem as propriedades) e contém
(cada membro contém
, logo a interseção também contém
). Assim
é um subgrupo contendo
.
Agora temos duas observações combinadas:
- Pelo Passo 5,
está contido em todo subgrupo que contém . Em particular, para cada no conjunto cuja interseção define . Logo . - Por outro lado,
é um dos subgrupos que aparecem na interseção (é legítimo porque é subgrupo que contém ). Como é um dos membros do conjunto, a interseção está contida em qualquer membro, em particular está contida em . Assim .
Juntando as duas inclusões obtemos
. Escrevendo explicitamente:
Passo 8
Resumo final e interpretação prática.
- A construção por produtos finitos de
e seus inversos produz um subgrupo que contém exatamente as combinações necessárias sem elementos “extra”. - Essa propriedade de ser o menor é equivalente à descrição como interseção de todos os subgrupos que contêm
: a interseção retira tudo o que não é obrigatório estar em todos os subgrupos e deixa apenas o essencial — que é exatamente .
Força aí — este é um resultado fundamental e muito útil: sempre que precisar trabalhar com "o subgrupo gerado por
", pode escolher a descrição que for mais conveniente (palavras finitas ou interseção).