Sejam G um grupo e S um subconjunto de não vazio de G. Mostre que \langle S\rangle é o menor subgrupo de G contendo S e que \langle S\rangle é a interseção de todos os subgrupos de G que contém S.

Passo 1

O enunciado dá:
  • G é um grupo.
  • S é um subconjunto não vazio de G.
O enunciado pede duas coisas, relacionadas:
  1. Mostrar que \langle S\rangle é o menor subgrupo de G que contém S.
  2. Mostrar que \langle S\rangle é a interseção de todos os subgrupos de G que contêm S; isto é, \langle S\rangle=\bigcap\{H\le G \mid S\subseteq H\}.
Não vou resolver nada aqui; apenas deixei claro o que foi dado e o que precisa ser provado.

Passo 2

Definição explícita (útil para provar propriedades): vou tomar \langle S\rangle como o conjunto de todos os produtos finitos de elementos de S e de seus inversos. Formalmente,
\langle S\rangle=\{\,s_1^{\epsilon_1}s_2^{\epsilon_2}\cdots s_n^{\epsilon_n}\mid n\ge 0,\\ s_i\in S,\\ \epsilon_i\in\{\pm1\}\,\}.
Aqui a convenção n=0 significa produto vazio, que é a identidade do grupo; assim a identidade pertence a \langle S\rangle.
Comentário didático: essa é a maneira padrão de “gerar” um subgrupo a partir de S: pegar elementos de S, permitir repetições, permitir inverter cada elemento e multiplicar um número finito desses termos.

Passo 3

Provar que \langle S\rangle contém S.
Tomemos s\in S. Escolhendo n=1 e \epsilon_1=1 na definição acima, obtemos s=s_1^{\epsilon_1}\in\langle S\rangle. Logo S\subseteq\langle S\rangle.
Pequeno reforço: é sempre boa prática verificar que a construção realmente inclui os geradores originais.

Passo 4

Provar que \langle S\rangle é um subgrupo de G.
Para mostrar que um subconjunto H de G é subgrupo, basta mostrar que (i) contém a identidade, (ii) é fechado sob produto e (iii) fechado sob inversos (ou usar o critério de subgrupo finito/alternativo, mas aqui faremos diretamente).
  • Identidade: pelo comentário da definição com n=0, o produto vazio é a identidade e. Assim e\in\langle S\rangle.
  • Fechamento por produto: pegue dois elementos quaisquer da forma a=s_1^{\epsilon_1}\cdots s_m^{\epsilon_m} e b=t_1^{\delta_1}\cdots t_k^{\delta_k} com s_i,t_j\in S e \epsilon_i,\delta_j\in\{\pm1\}. Então o produto ab é simplesmente a concatenação da palavra
    ab = s_1^{\epsilon_1}\cdots s_m^{\epsilon_m}t_1^{\delta_1}\cdots t_k^{\delta_k},
    que é outra expressão do mesmo tipo (produto finito de elementos de S ou seus inversos). Logo ab\in\langle S\rangle.
  • Fechamento por inversos: para a=s_1^{\epsilon_1}\cdots s_n^{\epsilon_n}, o inverso em G é
    a^{-1}=s_n^{-\epsilon_n}\cdots s_1^{-\epsilon_1},
    ou seja, inverter cada expoente e reverter a ordem. Como cada -\epsilon_i\in\{\pm1\} e cada s_i\in S, a palavra acima pertence a \langle S\rangle. Assim a^{-1}\in\langle S\rangle.
Portanto \langle S\rangle satisfaz identidade, fechamento e inversos, logo é um subgrupo de G.

Passo 5

Provar a propriedade de mínimo: \langle S\rangle está contido em qualquer subgrupo de G que contenha S.
Seja H\le G um subgrupo tal que S\subseteq H. Como H é subgrupo ele é fechado sob inversos e produtos finitos. Assim todo elemento da forma s_1^{\epsilon_1}\cdots s_n^{\epsilon_n} (com s_i\in S e \epsilon_i\in\{\pm1\}) pertence a H: os fatores s_i estão em H por hipótese, seus inversos também estão em H, e a multiplicação finita fica em H por fechamento. Consequentemente cada elemento de \langle S\rangle está em H. Logo
\langle S\rangle\subseteq H.
Esse é o ponto-chave: a construção por palavras finitas garante que qualquer subgrupo que contenha os geradores também contenha todas as combinações possíveis.

Passo 6

Concluir que \langle S\rangle é o menor subgrupo de G que contém S.
Já mostramos que \langle S\rangle é um subgrupo e que S\subseteq\langle S\rangle. Além disso, por Passo 5, \langle S\rangle está contido em qualquer outro subgrupo H com S\subseteq H. Isso é exatamente a definição de “menor”: \langle S\rangle é um subgrupo que contém S e é contido em todos os subgrupos que contenham S. Portanto \langle S\rangle é o menor subgrupo de G que contém S.
Pequeno encorajamento: esse tipo de argumento (construir algo e mostrar que está em todo outro candidato) é muito usado em álgebra — você está indo bem ao aprender a pensar assim.

Passo 7

Mostrar que \langle S\rangle é a interseção de todos os subgrupos de G que contêm S.
Defina
K=\bigcap\{H\le G \mid S\subseteq H\},
ou seja, K é a interseção de todos os subgrupos de G que contêm S. Primeiro, K é um subgrupo de G (interseção arbitrária de subgrupos é subgrupo; a prova é direta: interseção contém identidade, e é fechada porque cada membro tem as propriedades) e contém S (cada membro contém S, logo a interseção também contém S). Assim K é um subgrupo contendo S.
Agora temos duas observações combinadas:
  • Pelo Passo 5, \langle S\rangle está contido em todo subgrupo que contém S. Em particular, \langle S\rangle\subseteq H para cada H no conjunto cuja interseção define K. Logo \langle S\rangle\subseteq K.
  • Por outro lado, K é um dos subgrupos que aparecem na interseção (é legítimo porque K é subgrupo que contém S). Como K é um dos membros do conjunto, a interseção K está contida em qualquer membro, em particular está contida em \langle S\rangle. Assim K\subseteq\langle S\rangle.
Juntando as duas inclusões obtemos \langle S\rangle=K. Escrevendo explicitamente:
\langle S\rangle=\bigcap\{H\le G \mid S\subseteq H\}.

Passo 8

Resumo final e interpretação prática.
  • A construção por produtos finitos de S e seus inversos produz um subgrupo \langle S\rangle que contém exatamente as combinações necessárias sem elementos “extra”.
  • Essa propriedade de ser o menor é equivalente à descrição como interseção de todos os subgrupos que contêm S: a interseção retira tudo o que não é obrigatório estar em todos os subgrupos e deixa apenas o essencial — que é exatamente \langle S\rangle.
Força aí — este é um resultado fundamental e muito útil: sempre que precisar trabalhar com "o subgrupo gerado por S", pode escolher a descrição que for mais conveniente (palavras finitas ou interseção).

Resposta

\langle S\rangle é o menor subgrupo de G que contém S.
\displaystyle \langle S\rangle=\bigcap\{H\le G \mid S\subseteq H\}

Exercícios relacionados