Descreva os elementos de \langle 2\rangle em \left(\mathbb{Q}^{*}, \cdot\right).

Passo 1

O enunciado pede: descrever os elementos de \langle 2\rangle no grupo \left(\mathbb{Q}^{*},\cdot\right).
Informações fornecidas:
  • O grupo ambienta é \left(\mathbb{Q}^{*},\cdot\right), ou seja, o conjunto dos números racionais não nulos com a operação multiplicação.
  • O gerador pedido é o elemento 2.
  • A pergunta é: quais são exatamente os elementos do subgrupo \langle 2\rangle gerado por 2?

Passo 2

Definição útil (explicada): o subgrupo gerado por um elemento a de um grupo G é, por definição, o menor subgrupo de G que contém a. Esse subgrupo pode ser descrito explicitamente como
\langle a\rangle=\{a^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\}.
Aqui cada a^{n} significa:
  • a^{0}=1 (a identidade do grupo multiplicativo),
  • a^{n}=a\cdot a\cdots a ( n vezes) quando n>0,
  • a^{n}=(a^{-1})^{-n} quando n<0 (potências negativas são o inverso de potências positivas).
Isso é um fato padrão: a coleção de todas as potências inteiras de a forma um subgrupo (fecha por produto e inversos) e qualquer subgrupo que contenha a deve conter todas essas potências, logo é o menor.

Passo 3

Aplicando a definição para a=2 em \mathbb{Q}^{*}: a candidata natural é
S=\{2^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\}.
Vamos verificar que S\subseteq\mathbb{Q}^{*} e que S é um subgrupo:
  • Cada 2^{n} é um racional não nulo: se n\ge0 então 2^{n} é inteiro positivo; se n<0 então 2^{n}=1/2^{-n} também é racional não nulo. Logo S\subseteq\mathbb{Q}^{*}.
  • Fechamento: para m,n\in\mathbb{Z},
2^{m}\cdot 2^{n}=2^{m+n}\in S.
  • Identidade: 2^{0}=1\in S.
  • Inversos: para n\in\mathbb{Z},
(2^{n})^{-1}=2^{-n}\in S.
Portanto S é um subgrupo de \mathbb{Q}^{*} que contém 2.

Passo 4

Prova de minimalidade (por que \langle 2\rangle=S): se H é qualquer subgrupo de \mathbb{Q}^{*} que contém 2, então, por fechamento e inversos, H contém 2^{n} para todo n\in\mathbb{Z}. Assim S\subseteq H. Como S já é subgrupo, ele é o menor subgrupo contendo 2. Logo
\langle 2\rangle = S = \{2^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\}.

Passo 5

Mostrar que os elementos são exatamente os da forma listada e que são todos distintos (ou seja, o subgrupo é infinito cíclico):
  • Os elementos escritos explicitamente ficam
\ldots,\;2^{-3}= \tfrac{1}{8},\;2^{-2}=\tfrac{1}{4},\;2^{-1}=\tfrac{1}{2},\;2^{0}=1,\;2^{1}=2,\;2^{2}=4,\;2^{3}=8,\;\ldots
  • Para ver que não há redundância (isto é, 2^{m}=2^{n} só se m=n), basta observar que se 2^{k}=1 então k=0. De fato, para k>0 tem-se 2^{k}\ge2>1; para k<0 tem-se 2^{k}=1/2^{-k}<1. Portanto 2^{k}=1 força k=0. Da igualdade 2^{m}=2^{n} segue 2^{m-n}=1, logo m-n=0 e m=n. Assim todas as potências são distintas e o conjunto é infinito.
  • Assim \langle 2\rangle é um subgrupo infinito ciclíco de \mathbb{Q}^{*}, isomorfo a \mathbb{Z} via o isomorfismo n\mapsto 2^{n}.

Passo 6

Resumo prático (como lembrar na prova): quando virem \langle a\rangle em um grupo multiplicativo, escrevam imediatamente \{a^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\}. Para a=2 em \mathbb{Q}^{*} isso dá a lista de potências inteiras positivas e negativas de 2. Um exemplo rápido: \tfrac{1}{8}=2^{-3} pertence a \langle 2\rangle, enquanto um racional como \tfrac{3}{4} não pertence porque não é potência inteira de 2.

Resposta

\langle 2\rangle=\{2^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\}=\{\ldots,\tfrac{1}{8},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{2},1,2,4,8,\ldots\}

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