Descreva os elementos de
em
.
Passo 1
O enunciado pede: descrever os elementos de
no grupo
.
Informações fornecidas:
- O grupo ambienta é
, ou seja, o conjunto dos números racionais não nulos com a operação multiplicação. - O gerador pedido é o elemento
. - A pergunta é: quais são exatamente os elementos do subgrupo
gerado por ?
Passo 2
Definição útil (explicada): o subgrupo gerado por um elemento
de um grupo
é, por definição, o menor subgrupo de
que contém
. Esse subgrupo pode ser descrito explicitamente como
Aqui cada
significa:
-
(a identidade do grupo multiplicativo), -
( vezes) quando , -
quando (potências negativas são o inverso de potências positivas).
Isso é um fato padrão: a coleção de todas as potências inteiras de
forma um subgrupo (fecha por produto e inversos) e qualquer subgrupo que contenha
deve conter todas essas potências, logo é o menor.
Passo 3
Aplicando a definição para
em
: a candidata natural é
Vamos verificar que
e que
é um subgrupo:
- Cada
é um racional não nulo: se então é inteiro positivo; se então também é racional não nulo. Logo . - Fechamento: para
,
- Identidade:
. - Inversos: para
,
Portanto
é um subgrupo de
que contém
.
Passo 4
Prova de minimalidade (por que
): se
é qualquer subgrupo de
que contém
, então, por fechamento e inversos,
contém
para todo
. Assim
. Como
já é subgrupo, ele é o menor subgrupo contendo
. Logo
Passo 5
Mostrar que os elementos são exatamente os da forma listada e que são todos distintos (ou seja, o subgrupo é infinito cíclico):
- Os elementos escritos explicitamente ficam
- Para ver que não há redundância (isto é,
só se ), basta observar que se então . De fato, para tem-se ; para tem-se . Portanto força . Da igualdade segue , logo e . Assim todas as potências são distintas e o conjunto é infinito. - Assim
é um subgrupo infinito ciclíco de , isomorfo a via o isomorfismo .
Passo 6
Resumo prático (como lembrar na prova): quando virem
em um grupo multiplicativo, escrevam imediatamente
. Para
em
isso dá a lista de potências inteiras positivas e negativas de
. Um exemplo rápido:
pertence a
, enquanto um racional como
não pertence porque não é potência inteira de
.