Calcular partial fpartial s(x0, y0) na direção v=2 i-j :
b) f(x, y)=e^x ; (x0, y0)=(-1,2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada direcional de uma função no ponto na direção do vetor . Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivada direcional, que nos mostra a taxa de variação da função na direção de um vetor específico.

Passo 2

A derivada direcional de uma função Dvf(x0, y0) = nabla f(x0, y0) cdot v||v|| na direção de um vetor é dada pela fórmula:
Aqui, representa o gradiente da função , é o vetor direção, e é a norma (comprimento) do vetor . O símbolo indica o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção normalizado.

Passo 3

Vamos calcular o gradiente da função nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de partial fpartial x = e^x e partial fpartial y = 0 em relação a cada variável:
nabla f(x, y) = ( e^x, 0 )
Calculando as derivadas:
nabla f(-1, 2) = ( e^-1, 0 ) = ( 1e, 0 )
Portanto,
No ponto :

Passo 4

Agora, vamos normalizar o vetor direção ||v|| = raiz2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 = raiz5 . A normalização de um vetor consiste em dividir o vetor pelo seu comprimento, garantindo que tenha comprimento 1.
Primeiro, calculamos a norma de v = v||v|| = ( 2raiz5, -1raiz5 ) :
Então, o vetor normalizado é:

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor normalizado:
Dvf(-1, 2) = nabla f(-1, 2) cdot v = ( 1e, 0 ) cdot ( 2raiz5, -1raiz5 )
Calculando o produto escalar:
Dvf(-1, 2) = 1e cdot 2raiz5 + 0 cdot -1raiz5 = 2eraiz5 + 0 = 2eraiz5

Resposta

A derivada direcional de Dvf(-1, 2) = 2eraiz5 no ponto na direção do vetor é:

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