Calcular
na direção
:
b)
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a derivada direcional de uma função
no ponto
na direção do vetor
. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a derivada direcional, que nos mostra a taxa de variação da função na direção de um vetor específico.
Passo 2
A derivada direcional de uma função
na direção de um vetor
é dada pela fórmula:
Aqui,
representa o gradiente da função
,
é o vetor direção, e
é a norma (comprimento) do vetor
. O símbolo
indica o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção normalizado.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente da função
. O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de
em relação a cada variável:
Calculando as derivadas:
Portanto,
No ponto
:
Passo 4
Agora, vamos normalizar o vetor direção
. A normalização de um vetor consiste em dividir o vetor pelo seu comprimento, garantindo que tenha comprimento 1.
Primeiro, calculamos a norma de
:
Então, o vetor normalizado
é:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional usando o produto escalar entre o gradiente e o vetor normalizado:
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é: