Utilize dois caminhos para mostrar que os limites abaixo não existem.
(f) lim (x, y, z) (0,0,0) x y+x z+y zx^2+y^2+z^2.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: queremos mostrar que o limite de quando tende a não existe. Para isso, vamos usar dois caminhos diferentes para calcular o limite e mostrar que os resultados são distintos.
Aqui estamos trabalhando com limites em cálculo multivariável, especificamente no espaço tridimensional. Precisamos entender como o limite se comporta ao nos aproximarmos do ponto por diferentes trajetórias.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher o caminho onde todas as variáveis são iguais: (t)(t) + (t)(t) + (t)(t)t^2 + t^2 + t^2 = t^2 + t^2 + t^23t^2 = 3t^23t^2 = 1 , onde tende a 0.
Substituindo na função:
Portanto, ao seguir esse caminho, o limite é 1.

Passo 3

Agora, vamos escolher outro caminho onde (t)(t) + (t)(0) + (t)(0)t^2 + t^2 + 0^2 = t^2 + 0 + 02t^2 = t^22t^2 = 12 , , e , com tendendo a 0.
Substituindo na função:
Dessa forma, ao seguir esse caminho, o limite é .

Resposta

Como obtivemos limites diferentes ( lim (x, y, z) (0,0,0) xy + xz + yzx^2 + y^2 + z^2 e ) utilizando dois caminhos distintos para aproximar , concluímos que o limite
não existe.

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