Calcule as constantes de modo que:
d) lim x 1 b raizx+3-ax-1=1 / 6

Passo 1

O enunciado pede para achar as constantes a e b tais que o limite
limxto1braizx+3-ax-1=tfrac16. Estamos lidando com um caso de forma indeterminada 0/0 e vamos usar a ideia de derivada ou regra de l’Hôpital para resolver.

Passo 2

Para que o limite não dê infinito, o numerador deve zerar em x=1. Avaliando em x=1:
braiz1+3-a = 2b - a = 0
Logo, temos a condição
a = 2b

Passo 3

Com essa relação, podemos reescrever o numerador como
bl(raizx+3-2r)
Assim o limite vira
limxto1bl(raizx+3-2r)x-1 = blimxto1raizx+3-raiz4x-1
Mas esse último limite é justamente a derivada de f(x)=raizx+3 em x=1.

Passo 4

A derivada de f(x)=raizx+3 é
f'(x)=12raizx+3
Logo em x=1:
f'(1)=12raiz4=14
Então o nosso limite vale
bcdot f'(1)=bcdot14=b4
Para que isso seja 1/6, precisamos de
b4=16 implies b=46=23

Passo 5

Por fim, usando a=2b, temos
a=2cdot23=43

Resposta

a = \tfrac{4}{3},\quad b = \tfrac{2}{3}

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