Calcular passo a passo a derivada de f(x)=raiz3 x^2+x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)= raiz3x^2+x. O conteúdo envolvido é derivação de função composta, usando a regra da cadeia. Vamos precisar reescrever a raiz como potência e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a função como potência e identificamos as funções interna e externa. Definimos h(x)=3x^2+x (função interna) e g(u)=u^1/2 (função externa), pois temos f(x)= g(h(x)). A regra da cadeia diz que f’(x)= g'(h(x))· h'(x).

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas de cada parte. Para g(u)=u^1/2, usamos a regra da potência: g'(u)=tfrac12u^-1/2=tfrac12raizu. Para h(x)=3x^2+x, derivamos termo a termo: h'(x)=6x+1.

Passo 4

Por fim, aplicamos a regra da cadeia multiplicando as derivadas e simplificamos: Aplicando a regra da cadeia temos f’(x)= g'(h(x))· h'(x)=\tfrac{1}{2\sqrt{h(x)}}$·(6x+1). Substituindo ·(6x+1) Substituindo e juntando em uma única fração, obtemos
f'(x)=6x+12raiz3x^2+x

Resposta

f’(x)=\frac{6x+1}{2\sqrt{3x^2+x}}

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