Uma caixa aberta no topo deve ser feita com uma folha de papelão medindo 68 por 72 cm. cortando fora quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando-se os lados.
Qual é esse volume máximo?

Passo 1

O enunciado fala de construir uma caixa sem tampa dobrando as abas de uma folha de 68 cm × 72 cm, cortando quadrados de lado x nos quatro cantos. O conteúdo é otimização (cálculo de máximo) de volume de um paralelepípedo aberto, e vamos precisar modelar o volume em função de x e usar derivada para achar o ponto crítico.

Passo 2

Seja x a aresta do quadrado que cortamos em cada canto. Depois de retirar esses quadrados e dobrar, as dimensões da base ficam (68–2x) e (72–2x), e a altura é x. Assim o volume é:
V(x)=x,(68-2x),(72-2x)

Passo 3

Para maximizar V, primeiro determinamos o domínio viável: precisamos de (68–2x)>0 e (72–2x)>0, isto é x<34 e x<36, logo 0<x<34. Em seguida, derivamos V em relação a x. Expandindo e derivando obtemos:
V(x)=4x^3-280x^2+4896x,
V'(x)=12x^2-560x+4896

Passo 4

Igualamos a derivada a zero para achar os pontos críticos:
12x^2-560x+4896=0
Dividindo por 4:
3x^2-140x+1224=0
Pela fórmula de Bhaskara:
x=140pmraiz140^2-4cdot3cdot12246=140pm4raiz3076
Isso dá aproximadamente x₁≈11,65 cm e x₂≈35,01 cm. Só x₁ está no intervalo (0,34), e conferimos que V’’(11,65)<0, confirmando máximo.

Passo 5

Finalmente, substituímos x≈11,65 cm em V(x) para obter o volume máximo:
Vmaxapprox11,65,(68-2cdot11,65),(72-2cdot11,65)approx2,54times10^4 cm^3

Resposta

O volume máximo é aproximadamente 2,54×10^4 cm³.

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