Dada a função
Determinar os pontos de inflexão
Determinar os pontos de inflexão
Passo 1
A questão pede para determinar os pontos de inflexão da função f(x)=x³−2x²−x−1. Esse conteúdo cai em derivadas de 1ª e 2ª ordem e no teste de concavidade para achar onde f’’ muda de sinal.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas. Para a 1ª derivada temos a regra de potência:
Calculando f’(x) obtemos f’(x)=3x²−4x−1.
Derivando de novo, usando a mesma regra, chegamos a f’’(x)=6x−4.
Derivando de novo, usando a mesma regra, chegamos a f’’(x)=6x−4.
Passo 3
O ponto de inflexão ocorre quando f’’(x)=0 e há mudança de concavidade. Então resolvemos 6x−4=0, o que dá x=4/6=2/3.
Passo 4
Para encontrar o valor da função nesse x, avaliamos f(2/3):
f(2/3)= (2/3)³ −2(2/3)² −(2/3) −1 = 8/27 −8/9 −2/3 −1 = −61/27.
Assim o ponto de inflexão é (2/3, −61/27).