Calcular o período das funções: cos (23 x^2)

Passo 1

A questão pede o período da função f(x)=cosl(tfrac23x^2r). É um problema de funções periódicas e vamos usar a definição de período: encontrar T tal que f(x+T)=f(x) para todo x.

Passo 2

Para que f seja periódica com período T, devemos ter
cosl(tfrac23(x+T)^2r)=cosl(tfrac23x^2r) para todo x. Isso implica que os argumentos diferem por 2pi n, com n inteiro:
tfrac23l[(x+T)^2 - x^2r]=2pi n.

Passo 3

Expandindo o binômio, fica (x+T)^2 - x^2=2xT+T^2. Substituindo na condição de periodicidade, obtemos
tfrac23(2xT+T^2)=2pi n.

Passo 4

Note que o termo tfrac23cdot2xT=tfrac43xT depende de x, enquanto 2pi n é constante. Para que a igualdade valha para todo x, é necessário que o coeficiente de x seja zero, o que exige T=0.

Passo 5

Como T=0 não conta como período não nulo, concluímos que não existe T>0 que satisfaça f(x+T)=f(x) para todo x.

Resposta

A função não possui período não nulo, isto é, não é periódica.

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