Resolva o seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias:
x^prime & =x+y y^prime & =-x+y x(0) & =1, y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais ordinárias que é assim:
x^prime & =x + y y^prime & =-x + y x(0) & =1, y(0)=1
O conteúdo que vamos usar aqui envolve sistemas lineares de equações diferenciais e o método dos autovalores e autovetores. Precisamos encontrar funções $ x(t) $ e $ y(t) $ que satisfazem essas equações e as condições iniciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema em forma matricial. Isso facilita bastante na hora de resolver. Temos:

$$
x' y' = 1 & 1 -1 & 1 x y

A = 1 & 1 -1 & 1
$$
Aqui, a matriz dos coeficientes é $ A = $.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores dessa matriz $ A $. Os autovalores ajudam a determinar o comportamento das soluções. Para isso, resolvemos a equação característica:
A
Calculando:
det(A - lambda I) = 0

Passo 4

Resolvendo a equação (1 - lambda)^2 + 1 = 0:
(1 - lambda)^2 = -1 1 - lambda = pm i lambda = 1 mp i
Então, os autovalores são $ \lambda_1 = 1 + i $ e $ \lambda_2 = 1 - i $.

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Vamos começar com $ \lambda_1 = 1 + i $:
Resolvemos $ (A - \lambda_1 I)v = 0 $:

$$
lambda1 = 1 + i

(A - lambda1 I)v = 0
$$
Isso nos dá o sistema:
1 - (1 + i) & 1 -1 & 1 - (1 + i) = -i & 1 -1 & -i
Da primeira equação, $ v_2 = i v_1 $. Podemos escolher $ v_1 = 1 $, então $ v_2 = i $. Assim, o autovetor é $ v_1 = - i v1 + v2 = 0 - v1 - i v2 = 0 $.

Passo 6

De forma similar, para $ \lambda_2 = 1 - i $, repetimos o processo:

$$
lambda2 = 1 - i

1 - (1 - i) & 1 -1 & 1 - (1 - i) = i & 1 -1 & i
$$
O sistema fica:
i v1 + v2 = 0 - v1 + i v2 = 0
Da primeira equação, $ v_2 = -i v_1 $. Escolhendo $ v_1 = 1 $, temos $ v_2 = -i $. Então, o autovetor é $ v_2 = v2 = -i v1 $.

Passo 7

Com os autovalores e autovetores, podemos escrever a solução geral do sistema:
x(t) y(t) = c1 e^lambda1 t v1 + c2 e^lambda2 t v2
Substituindo os valores:
x(t) y(t) = c1 e^(1 + i)t 1 i + c2 e^(1 - i)t 1 -i

Passo 8

Para simplificar, usamos a fórmula de Euler $ e^{it} = \cos t + i \sin t $:
e^it = cos t + i sin t

Passo 9

Impondo as condições iniciais $ x(0) = 1 $ e $ y(0) = 1 $, temos:
Para $ t = 0 $:
x(0) = 1
Resolvendo o sistema, encontramos $ c_1 = \frac{1 - i}{2} $ e $ c_2 = \frac{1 + i}{2} $.

Passo 10

Substituindo os valores de $ c_1 $ e $ c_2 $ na solução geral e simplificando, obtemos:
c1

Resposta

A solução do sistema é
x(t) = e^t (cos t + sin t) e y(t) = e^t (cos t - sin t)

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