Calcular o pH da água em a) \mathrm{I}=0 \mathrm{e} b) \mathrm{NaNO}_{3} 10^{-2} \mathrm{~mol} / \mathrm{L}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do pH da água em duas situações:
a) sem nenhuma força iônica ( I=0);
b) na presença de \mathrm{NaNO}_3 10^{-2}, \mathrm{mol/L}, que é um eletrólito inerte.
O conteúdo que vamos usar envolve a autoionização da água
\mathrm{H_2O}\rightleftharpoons \mathrm{H^+} + \mathrm{OH^-},
cuja constante de equilíbrio em termos de atividades é
a_{\mathrm{H^+}}\;a_{\mathrm{OH^-}} = K_w = 1\times 10^{-14}
25^\circ\mathrm{C}). Para levar em conta a força iônica, usamos o coeficiente de atividade \gamma_i e a aproximação de Debye–Hückel, segundo a qual
\log_{10}\gamma_i = -A\,z_i^2\sqrt{I},
sendo A\approx0,51\,\mathrm{(mol/L)^{-1/2}} e z_i a carga do íon.

Passo 2

Caso (a): I=0 implica \gamma_{\mathrm{H^+}}=\gamma_{\mathrm{OH^-}}=1. Com x=[\mathrm{H^+}]=[\mathrm{OH^-}], pela condição
(\gamma_{\mathrm{H^+}}\,x)\,(\gamma_{\mathrm{OH^-}}\,x)=K_w
vem
x^2 = K_w \quad\Longrightarrow\quad x = \sqrt{1\times10^{-14}} = 1\times10^{-7}\,\mathrm{mol/L}.
Logo
\mathrm{pH} = -\log_{10}(x) = 7{,}00.

Passo 3

Caso (b): ao dissolver \mathrm{NaNO}_3 10^{-2}, \mathrm{mol/L}, obtemos
\mathrm{Na^+} (0,01\;\mathrm{M},\,z=+1),\quad \mathrm{NO_3^-}(0,01\;\mathrm{M},\,z=-1).
A força iônica é
I = \tfrac12\sum_i c_i z_i^2 = \tfrac12\bigl(0,01\cdot1^2 + 0,01\cdot(-1)^2\bigr) = 0{,}01\;\mathrm{mol/L}.
Pela lei de Debye–Hückel limitante, para z=\pm1 e \sqrt{I}=0{,}1:
\log_{10}\gamma_{\mathrm{H^+}} = -0,51\,(1)^2\sqrt{0{,}01} = -0,051 \quad\Longrightarrow\quad \gamma_{\mathrm{H^+}} = 10^{-0,051}\approx0{,}888.
O mesmo vale para \gamma_{\mathrm{OH^-}}. Então, com x=[\mathrm{H^+}]=[\mathrm{OH^-}],
(\gamma_{\mathrm{H^+}}\,x)\,(\gamma_{\mathrm{OH^-}}\,x) = K_w \quad\Longrightarrow\quad x^2 = \frac{K_w}{\gamma_{\mathrm{H^+}}\;\gamma_{\mathrm{OH^-}}} = \frac{1\times10^{-14}}{(0{,}888)^2},
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x = \frac{1\times10^{-7}}{0{,}888} \approx 1{,}13\times10^{-7}\,\mathrm{mol/L} \quad\Longrightarrow\quad \mathrm{pH} = -\log_{10}(1{,}13\times10^{-7}) \approx 6{,}95.

Resposta

a) \mathrm{pH}=7,00
b) \mathrm{pH}\approx6,95

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