Calcular P\left(\left|t_{10}\right|>2,228\right) e P\left(-1,753 \leq t_{15} \leq 2,602\right).

Passo 1

O enunciado pede duas probabilidades envolvendo a distribuição t de Student:
  • Calcular P\bigl(\left|t_{10}\right|>2,228\bigr).
  • Calcular P\bigl(-1,753 \leq t_{15} \leq 2,602\bigr).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As quantidades 2,228, 1,753 e 2,602 são valores de t (estáticos) e os subscritos indicam os graus de liberdade: 10 e 15.
  • Precisamos transformar essas expressões em probabilidades usando a função de distribuição acumulada (CDF) da t de Student e/ou tabelas de quantis da t.

Passo 2

Conceitos e propriedades que vamos usar (explicadinho, passo a passo):
  • A distribuição t de Student é simétrica em torno de zero. Isso significa que, se F_{d}(x) é a CDF da t com d graus de liberdade, então
F_{d}(-x)=1-F_{d}(x).
  • Para uma variável T\sim t_{d}, a probabilidade de estar entre dois pontos é a diferença das CDFs:
P(a\le T\le b)=F_{d}(b)-F_{d}(a).
  • Para probabilidade de forma P(|T|>c) (duas caudas), usamos simetria:
P(|T|>c)=2\cdot P(T>c)=2\bigl(1-F_{d}\text{(c)}\bigr).
  • Em provas normalmente usamos a tabela de quantis da t que dá, para cada grau de liberdade d e probabilidade de cauda superior \alpha, o valor t_{1-\alpha,d}. Por exemplo, se a tabela diz t_{0{,}975,10}=2{,}228, isso significa P(T\le 2{,}228)=0{,}975, então P(T>2{,}228)=0{,}025.

Passo 3

Calcule P\bigl(\left|t_{10}\right|>2,228\bigr).
  1. Use a fórmula de duas caudas por simetria:
P\bigl(\left|t_{10}\right|>2,228\bigr)=2\cdot P\bigl(t_{10}>2,228\bigr).
  1. Identifique o significado do número 2{,}228. Pela tabela de quantis da t (linha d=10) sabemos que
t_{0{,}975,10}=2{,}228,
o que significa P\bigl(t_{10}\le 2{,}228\bigr)=0{,}975 e, portanto,
P\bigl(t_{10}>2{,}228\bigr)=1-0{,}975=0{,}025.
  1. Substituindo na fórmula de duas caudas:
P\bigl(\left|t_{10}\right|>2,228\bigr)=2\cdot 0{,}025=0{,}05.

Passo 4

Calcule P\bigl(-1,753 \leq t_{15} \leq 2,602\bigr).
  1. Escreva como diferença de CDFs:
P\bigl(-1{,}753 \le t_{15} \le 2{,}602\bigr)=F_{15}(2{,}602)-F_{15}(-1{,}753).
  1. Use a simetria F_{15}(-x)=1-F_{15}(x) para transformar a expressão:
F_{15}(2{,}602)-F_{15}(-1{,}753)=F_{15}(2{,}602)-\bigl(1-F_{15}(1{,}753)\bigr)=F_{15}(2{,}602)+F_{15}(1{,}753)-1.
  1. Agora usar a tabela de quantis da t (linha d=15):
  • O valor 2{,}602 é o quantil correspondente a t_{0{,}99,15}=2{,}602. Isso significa F_{15}(2{,}602)=0{,}99 (ou seja, cauda direita de 0{,}01).
  • O valor 1{,}753 é o quantil correspondente a t_{0{,}95,15}=1{,}753. Isso significa F_{15}(1{,}753)=0{,}95 (ou seja, cauda direita de 0{,}05).
  1. Substituindo:
P\bigl(-1{,}753 \le t_{15} \le 2{,}602\bigr)=0{,}99+0{,}95-1=0{,}94.

Passo 5

Interpretação curta e moral da história: no primeiro caso temos exatamente a probabilidade de nível de significância \alpha=0{,}05 (duas caudas). No segundo caso combinamos duas quantias diferentes usando a simetria da t e tabelas de quantis para obter a probabilidade entre os dois pontos.

Resposta

P\bigl(\left|t_{10}\right|>2,228\bigr)=0,05
P\bigl(-1,753 \leq t_{15} \leq 2,602\bigr)=0,94

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