(3 pts) Um fabricante afirma que seu novo drone aerofotogramétrico possui erro médio de altitude de no máximo 8 cm . Uma equipe de engenheiros coletou uma amostra de 36 voos, obtendo média amostral de
e desvio-padrão populacional de 3 cm . Com nível de significância de
, teste a hipótese de que o erro médio é igual a 8 cm .
Passo 1
O enunciado pede para testar se o erro médio de altitude é igual a
cm, usando nível de significância de
. Dados fornecidos:
- tamanho da amostra:
; - média amostral:
cm; - desvio-padrão populacional conhecido:
cm (o enunciado disse explicitamente “desvio-padrão populacional de 3 cm”); - nível de significância:
.
A pergunta é: com esses dados, rejeitamos ou não a hipótese de que o erro médio é igual acm?
Passo 2
Qual teste usar e por quê (explicação didática):
Como o desvio-padrão populacional é conhecido, usamos o teste-z para a média. A ideia é padronizar a média amostral para obter uma estatística que, sob a hipótese nula, segue a distribuição Normal padrão. A estatística de teste é
Como o desvio-padrão populacional
onde:
-
é a média amostral (aqui ); -
é o valor da média segundo a hipótese nula (aqui ); -
é o desvio-padrão populacional (aqui ); -
é o tamanho da amostra (aqui ).
Se a hipótese nulafor verdadeira, então tem média e desvio padrão , de modo que tem distribuição aproximadamente Normal padrão . Como o enunciado pede testar se a média é igual a cm sem indicar desigualdade, adotamos o teste bilateral:
Passo 3
Cálculo da estatística de teste (passo a passo):
Primeiro calculemos o erro padrão da média:
Primeiro calculemos o erro padrão da média:
Agora a estatística
:
Passo 4
Regra de decisão e comparação com valor crítico:
Para um teste bilateral com nível , os valores críticos da Normal padrão são
. O valor tabulado é
. A regra é:
Para um teste bilateral com nível
- rejeitar
se .
Aquie . Portanto rejeitamos ao nível de .
Passo 5
Cálculo do valor-p e interpretação (explicação didática):
O valor-p para teste bilateral é
O valor-p para teste bilateral é
onde
é a função de distribuição acumulada da Normal padrão. Usando
e tabela/valores conhecidos,
. Então
Interpretação: sob
a probabilidade de observar uma média tão distante de
cm quanto
cm (ou mais extrema) é cerca de
. Como
, isso confirma a decisão de rejeitar
.
Passo 6
Conclusão final e interpretação prática (linguagem amiga):
Rejeitar significa que, com nível de significância
, os dados fornecem evidência estatística suficiente para afirmar que o erro médio não é
cm. Note que a média amostral é
cm (maior que
), então os dados indicam que o erro médio é provavelmente maior que
cm — ou seja, a afirmação do fabricante de que o erro médio é no máximo
cm fica em dúvida. Também vale lembrar: usamos o teste-z porque
foi informado; e com
a aproximação normal está segura.
Rejeitar
Resposta
Rejeita-se
(teste bilateral,
). Estatística
. Valor-p
. Conclusão: há evidência, ao nível de
, de que o erro médio difere de
cm (a amostra sugere que é maior).