(3 pts) Um fabricante afirma que seu novo drone aerofotogramétrico possui erro médio de altitude de no máximo 8 cm . Uma equipe de engenheiros coletou uma amostra de 36 voos, obtendo média amostral de 9,1 \mathrm{~cm} e desvio-padrão populacional de 3 cm . Com nível de significância de 5 \%, teste a hipótese de que o erro médio é igual a 8 cm .

Passo 1

O enunciado pede para testar se o erro médio de altitude é igual a 8 cm, usando nível de significância de 5\%. Dados fornecidos:
  • tamanho da amostra: n=36;
  • média amostral: \bar{X}=9,1 cm;
  • desvio-padrão populacional conhecido: \sigma=3 cm (o enunciado disse explicitamente “desvio-padrão populacional de 3 cm”);
  • nível de significância: \alpha=5\%.
    A pergunta é: com esses dados, rejeitamos ou não a hipótese de que o erro médio é igual a 8 cm?

Passo 2

Qual teste usar e por quê (explicação didática):
Como o desvio-padrão populacional \sigma é conhecido, usamos o teste-z para a média. A ideia é padronizar a média amostral para obter uma estatística que, sob a hipótese nula, segue a distribuição Normal padrão. A estatística de teste é
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{X} é a média amostral (aqui \bar{X}=9,1);
  • \mu_0 é o valor da média segundo a hipótese nula (aqui \mu_0=8);
  • \sigma é o desvio-padrão populacional (aqui \sigma=3);
  • n é o tamanho da amostra (aqui n=36).
    Se a hipótese nula \mu=\mu_0 for verdadeira, então \bar{X} tem média \mu_0 e desvio padrão \sigma/\sqrt{n}, de modo que Z tem distribuição aproximadamente Normal padrão N(0,1). Como o enunciado pede testar se a média é igual a 8 cm sem indicar desigualdade, adotamos o teste bilateral:
H_0:\\ \mu=8\quad\text{vs}\quad H_1:\\ \mu\neq 8.

Passo 3

Cálculo da estatística de teste (passo a passo):
Primeiro calculemos o erro padrão da média:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{3}{\sqrt{36}}=\frac{3}{6}=0,5.
Agora a estatística Z:
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}=\frac{9,1-8}{0,5}=\frac{1,1}{0,5}=2,2.

Passo 4

Regra de decisão e comparação com valor crítico:
Para um teste bilateral com nível \alpha=5\%, os valores críticos da Normal padrão são \pm z_{1-\alpha/2}=\pm z_{0,975}. O valor tabulado é z_{0,975}\approx 1,96. A regra é:
  • rejeitar H_0 se |Z|>1,96.
    Aqui |Z|=2,2 e 2,2>1,96. Portanto rejeitamos H_0 ao nível de 5\%.

Passo 5

Cálculo do valor-p e interpretação (explicação didática):
O valor-p para teste bilateral é
\text{p-valor}=2\left(1-\Phi(|Z|)\right),
onde \Phi é a função de distribuição acumulada da Normal padrão. Usando |Z|=2,2 e tabela/valores conhecidos, \Phi(2,2)\approx 0,9861. Então
\text{p-valor}=2(1-0,9861)=2(0,0139)=0,0278.
Interpretação: sob H_0 a probabilidade de observar uma média tão distante de 8 cm quanto \bar{X}=9,1 cm (ou mais extrema) é cerca de 2,78\%. Como 0,0278<0,05, isso confirma a decisão de rejeitar H_0.

Passo 6

Conclusão final e interpretação prática (linguagem amiga):
Rejeitar H_0 significa que, com nível de significância 5\%, os dados fornecem evidência estatística suficiente para afirmar que o erro médio não é 8 cm. Note que a média amostral é 9,1 cm (maior que 8), então os dados indicam que o erro médio é provavelmente maior que 8 cm — ou seja, a afirmação do fabricante de que o erro médio é no máximo 8 cm fica em dúvida. Também vale lembrar: usamos o teste-z porque \sigma foi informado; e com n=36 a aproximação normal está segura.

Resposta

Rejeita-se H_0 (teste bilateral, \alpha=5\%). Estatística Z=2,2. Valor-p \approx 0,0278. Conclusão: há evidência, ao nível de 5\%, de que o erro médio difere de 8 cm (a amostra sugere que é maior).

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