Uma v.a. assume valores -2,-1,1,2; com igual probabilidade. Para uma amostra de tamanho 2 , com reposição, obtenha:
A distribuição de S^{2}.
R.
S^{2} 0 \frac{1}{2} \frac{9}{2} 2 8
p_{i} \frac{1}{4} \frac{1}{4} \frac{1}{4} \frac{1}{8} \frac{1}{8}

Passo 1

O enunciado dá que a variável aleatória populacional assume os valores -2,-1,1,2 todos com igual probabilidade. Vamos tirar uma amostra de tamanho 2 com reposição (ou seja, cada observação pode ser qualquer um desses quatro valores, independente da outra). O que se pede é obter a distribuição de S^{2}, o estimador de variância amostral (usado para amostras).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Suporte da v.a. original: }\{-2,-1,1,2\},\quad P(\text{cada valor})=\tfrac{1}{4}.
\text{Tamanho da amostra: }n=2,\quad \text{amostragem com reposição (pares ordenados).}çã

Passo 2

Definição e fórmula útil: a variância amostral S^{2} (amostral não enviesada) para amostra de tamanho n é
S^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_{i}-\overline{X})^{2},
onde \overline{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i} é a média amostral. Agora vamos simplificar essa fórmula para n=2.
Cálculo para n=2: sejam X_{1} e X_{2} as duas observações e \overline{X}=\dfrac{X_{1}+X_{2}}{2}. Então
X_{1}-\overline{X}=\frac{X_{1}-X_{2}}{2},\qquad X_{2}-\overline{X}=\frac{X_{2}-X_{1}}{2}=-\frac{X_{1}-X_{2}}{2}.
Elevando ao quadrado e somando:
(X_{1}-\overline{X})^{2}+(X_{2}-\overline{X})^{2} =2\left(\frac{X_{1}-X_{2}}{2}\right)^{2} =\frac{(X_{1}-X_{2})^{2}}{2}.
Como n-1=1, obtemos a forma simples
\boxed{\,S^{2}=\frac{(X_{1}-X_{2})^{2}}{2}\,}.
Essa fórmula é muito conveniente: S^{2} depende apenas da diferença entre as duas observações.

Passo 3

Como a amostragem é com reposição e há 4 valores possíveis por observação, os pares ordenados (X_{1},X_{2}) são 4\times 4=16 e cada par tem probabilidade \tfrac{1}{16}. Vamos classificar esses 16 pares pelo valor de |X_{1}-X_{2}|, calcular S^{2}=(X_{1}-X_{2})^{2}/2 e contar quantos pares dão cada valor de S^{2}.
Possíveis diferenças absolutas |X_{1}-X_{2}| entre os elementos do conjunto \{-2,-1,1,2\}:
0,\,1,\,2,\,3,\,4.
Agora contamos os pares ordenados que produzem cada diferença (vou listar os pares para ficar 100% claro):
Diferença |X_{1}-X_{2}|=0 (pares iguais):
(-2,-2),\;(-1,-1),\;(1,1),\;(2,2)\quad\Rightarrow\quad 4\text{ pares}.
Diferença |X_{1}-X_{2}|=1:
(-2,-1),\;(-1,-2),\;(1,2),\;(2,1)\quad\Rightarrow\quad 4\text{ pares}.
Diferença |X_{1}-X_{2}|=2:
(-1,1),\;(1,-1)\quad\Rightarrow\quad 2\text{ pares}.
Diferença |X_{1}-X_{2}|=3:
(-2,1),\;(1,-2),\;(-1,2),\;(2,-1)\quad\Rightarrow\quad 4\text{ pares}.
Diferença |X_{1}-X_{2}|=4:
(-2,2),\;(2,-2)\quad\Rightarrow\quad 2\text{ pares}.
Verificação rápida: 4+4+2+4+2=16, bate com o total.

Passo 4

Converter cada diferença em S^{2} usando S^{2}=(\text{dif})^{2}/2 e obter probabilidade dividindo o número de pares por 16.
  • Para |X_{1}-X_{2}|=0:
S^{2}=\frac{0^{2}}{2}=0,\qquad \text{contagem }=4\Rightarrow P(S^{2}=0)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}.
  • Para |X_{1}-X_{2}|=1:
S^{2}=\frac{1^{2}}{2}=\frac{1}{2},\qquad \text{contagem }=4\Rightarrow P\!\left(S^{2}=\tfrac{1}{2}\right)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}.
  • Para |X_{1}-X_{2}|=2:
S^{2}=\frac{2^{2}}{2}=2,\qquad \text{contagem }=2\Rightarrow P(S^{2}=2)=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}.
  • Para |X_{1}-X_{2}|=3:
S^{2}=\frac{3^{2}}{2}=\frac{9}{2},\qquad \text{contagem }=4\Rightarrow P\!\left(S^{2}=\tfrac{9}{2}\right)=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}.
  • Para |X_{1}-X_{2}|=4:
S^{2}=\frac{4^{2}}{2}=8,\qquad \text{contagem }=2\Rightarrow P(S^{2}=8)=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}.
Checagem da soma das probabilidades:
\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}=1.

Passo 5

Interpretação final (pegar do enunciado e confirmar): os valores possíveis de S^{2} são
0,\\ \frac{1}{2},\\\ 2,\\ \frac{9}{2},\\\ 8
com probabilidades conforme calculado no passo anterior. Isso coincide com a tabela fornecida no enunciado.

Resposta

S^{2}=0:\;p=\dfrac{1}{4}
S^{2}=\dfrac{1}{2}:\;p=\dfrac{1}{4}
S^{2}=\dfrac{9}{2}:\;p=\dfrac{1}{4}
S^{2}=2:\;p=\dfrac{1}{8}
S^{2}=8:\;p=\dfrac{1}{8}

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