Uma v.a. assume valores -2,-1,1,2; com igual probabilidade. Para uma amostra de tamanho 2 , com reposição, obtenha:
A distribuição de S^{2}.
R.
S^{2}
0
\frac{1}{2}
\frac{9}{2}
2
8
p_{i}
\frac{1}{4}
\frac{1}{4}
\frac{1}{4}
\frac{1}{8}
\frac{1}{8}
Passo 1
O enunciado dá que a variável aleatória populacional assume os valores -2,-1,1,2 todos com igual probabilidade. Vamos tirar uma amostra de tamanho 2 com reposição (ou seja, cada observação pode ser qualquer um desses quatro valores, independente da outra). O que se pede é obter a distribuição de S^{2}, o estimador de variância amostral (usado para amostras).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Suporte da v.a. original: }\{-2,-1,1,2\},\quad P(\text{cada valor})=\tfrac{1}{4}.
\text{Tamanho da amostra: }n=2,\quad \text{amostragem com reposição (pares ordenados).}
Passo 2
Definição e fórmula útil: a variância amostral S^{2} (amostral não enviesada) para amostra de tamanho n é
Essa fórmula é muito conveniente: S^{2} depende apenas da diferença entre as duas observações.
Passo 3
Como a amostragem é com reposição e há 4 valores possíveis por observação, os pares ordenados (X_{1},X_{2}) são 4\times 4=16 e cada par tem probabilidade \tfrac{1}{16}. Vamos classificar esses 16 pares pelo valor de |X_{1}-X_{2}|, calcular S^{2}=(X_{1}-X_{2})^{2}/2 e contar quantos pares dão cada valor de S^{2}.
Possíveis diferenças absolutas |X_{1}-X_{2}| entre os elementos do conjunto \{-2,-1,1,2\}:
0,\,1,\,2,\,3,\,4.
Agora contamos os pares ordenados que produzem cada diferença (vou listar os pares para ficar 100% claro):