Calcular
e
. Encontrar
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede três cálculos com a distribuição qui‑quadrado (chi‑square). As perguntas são: calcular
, calcular
e encontrar
tal que
. As informações relevantes dadas são apenas os pares
:
,
e
(no último já se infere
a partir da probabilidade indicada).
Não há figura nem tabela anexada, por isso iremos usar a definição e, em seguida, obter os valores numéricos consultando uma tabela padrão de quantis da distribuição (ou software). Aqui estou usando valores tabulados padrão para os quantis da
.
Não há figura nem tabela anexada, por isso iremos usar a definição e, em seguida, obter os valores numéricos consultando uma tabela padrão de quantis da distribuição
Passo 2
Entendendo a notação e o que buscar (aula rápida). A notação
que o enunciado usa significa o valor crítico da distribuição qui‑quadrado com
graus de liberdade tal que a probabilidade na cauda direita é
. Em fórmulas:
Isto implica que o percentil de ordem
(a cauda esquerda) é
, ou seja
Exemplo concreto:
é o valor com
de probabilidade à direita (e
à esquerda). Para encontrar
usa‑se uma tabela de quantis da
ou software (R, Python, calculadora estatística). A tabela normalmente dá entradas para vários
e
.
Passo 3
Métodos de obtenção (explicação didática). Há duas formas práticas:
- Consultar tabela de
: escolher a linha com graus de liberdade e a coluna com (probabilidade da cauda direita) e ler o valor. - Usar aproximação analítica (se não houver tabela): aproximação de Wilson–Hilferty — útil para estimar quantis. A aproximação diz: se
e é o quantil na cauda esquerda, com o quantil normal padrão (isto é, ), então
No nosso caso, dado
(cauda direita), o
na fórmula é
. Vou usar a tabela padrão como fonte final dos valores, comentando a aproximação quando for útil para entender.
Passo 4
Cálculo de
(primeiro item). Aqui
e
. Pela definição, queremos
tal que
Isso significa que
é o quantil de ordem
(1% à esquerda). Consultei uma tabela padrão de quantis da
para
e probabilidade de cauda direita
(ou, equivalentemente, probabilidade à esquerda
). O valor tabulado é
(Para entender: se não tivesse a tabela, a aproximação de Wilson–Hilferty dá um valor bem próximo, por volta de
, o que confirma a ordem de grandeza; a tabela fornece o valor usado habitualmente.)
Passo 5
Cálculo de
(segundo item). Aqui
e
. Queremos
tal que
isto é,
é o quantil de ordem
(97,5% à esquerda). Consultando a tabela padrão de
para
e
obtenho o valor
(Aproximações pelo método de Wilson–Hilferty dão resultado parecido, por volta de
, confirmando a leitura da tabela.)
Passo 6
Encontrar
tal que
(terceiro item). Aqui a probabilidade da cauda direita é
, então
e
. Buscamos
com
isto é, o quantil de ordem
(99% à esquerda). Consultando a tabela padrão para
e
obtém‑se
(A aproximação de Wilson–Hilferty dá
, muito próxima; o valor tabulado mais usado é
.)