Calcular \chi_{0,99 ; 10}^{2} e \chi_{0,025 ; 29}^{2}. Encontrar \chi_{\alpha ; 4}^{2} tal que P\left(\chi^{2}>\chi_{\alpha ; 4}^{2}\right)=0,01.

Passo 1

O enunciado pede três cálculos com a distribuição qui‑quadrado (chi‑square). As perguntas são: calcular \chi_{0,99;10}^{2}, calcular \chi_{0,025;29}^{2} e encontrar \chi_{\alpha;4}^{2} tal que P\!\left(\chi^{2}>\chi_{\alpha;4}^{2}\right)=0,01. As informações relevantes dadas são apenas os pares (\alpha,\nu): (0,99,10), (0,025,29) e (0,01,4) (no último já se infere \alpha=0,01 a partir da probabilidade indicada).
Não há figura nem tabela anexada, por isso iremos usar a definição e, em seguida, obter os valores numéricos consultando uma tabela padrão de quantis da distribuição \chi^{2} (ou software). Aqui estou usando valores tabulados padrão para os quantis da \chi^{2}.

Passo 2

Entendendo a notação e o que buscar (aula rápida). A notação \chi_{\alpha;\nu}^{2} que o enunciado usa significa o valor crítico da distribuição qui‑quadrado com \nu graus de liberdade tal que a probabilidade na cauda direita é \alpha. Em fórmulas:
\chi_{\alpha;\nu}^{2}\quad\text{é tal que}\quad P\!\bigl(\chi_{\nu}^{2}>\chi_{\alpha;\nu}^{2}\bigr)=\alpha.é
Isto implica que o percentil de ordem 1-\alpha (a cauda esquerda) é 1-\alpha, ou seja
P\!\bigl(\chi_{\nu}^{2}\le \chi_{\alpha;\nu}^{2}\bigr)=1-\alpha.
Exemplo concreto: \chi_{0,05;10}^{2} é o valor com 5\% de probabilidade à direita (e 95\% à esquerda). Para encontrar \chi_{\alpha;\nu}^{2} usa‑se uma tabela de quantis da \chi^{2} ou software (R, Python, calculadora estatística). A tabela normalmente dá entradas para vários \alpha e \nu.

Passo 3

Métodos de obtenção (explicação didática). Há duas formas práticas:
  1. Consultar tabela de \chi^{2}: escolher a linha com \nu graus de liberdade e a coluna com \alpha (probabilidade da cauda direita) e ler o valor.
  2. Usar aproximação analítica (se não houver tabela): aproximação de Wilson–Hilferty — útil para estimar quantis. A aproximação diz: se X\sim\chi_{\nu}^{2} e p é o quantil na cauda esquerda, com z_p o quantil normal padrão (isto é, P(Z\le z_p)=p), então
X_{p}\approx \nu\Bigl(1-\frac{2}{9\nu}+z_p\sqrt{\frac{2}{9\nu}}\Bigr)^{3}.
No nosso caso, dado \alpha (cauda direita), o p na fórmula é p=1-\alpha. Vou usar a tabela padrão como fonte final dos valores, comentando a aproximação quando for útil para entender.

Passo 4

Cálculo de \chi_{0,99;10}^{2} (primeiro item). Aqui \alpha=0,99 e \nu=10. Pela definição, queremos c tal que
P\!\bigl(\chi_{10}^{2}>c\bigr)=0,99.
Isso significa que c é o quantil de ordem 1-\alpha=0,01 (1% à esquerda). Consultei uma tabela padrão de quantis da \chi^{2} para \nu=10 e probabilidade de cauda direita \alpha=0,99 (ou, equivalentemente, probabilidade à esquerda 0,01). O valor tabulado é
\chi_{0,99;10}^{2}\approx 2,558.
(Para entender: se não tivesse a tabela, a aproximação de Wilson–Hilferty dá um valor bem próximo, por volta de 2{,}51, o que confirma a ordem de grandeza; a tabela fornece o valor usado habitualmente.)

Passo 5

Cálculo de \chi_{0,025;29}^{2} (segundo item). Aqui \alpha=0,025 e \nu=29. Queremos c tal que
P\!\bigl(\chi_{29}^{2}>c\bigr)=0,025,
isto é, c é o quantil de ordem 1-\alpha=0,975 (97,5% à esquerda). Consultando a tabela padrão de \chi^{2} para \nu=29 e \alpha=0,025 obtenho o valor
\chi_{0,025;29}^{2}\approx 45,722.
(Aproximações pelo método de Wilson–Hilferty dão resultado parecido, por volta de 45{,}7, confirmando a leitura da tabela.)

Passo 6

Encontrar \chi_{\alpha;4}^{2} tal que P\!\bigl(\chi^{2}>\chi_{\alpha;4}^{2}\bigr)=0,01 (terceiro item). Aqui a probabilidade da cauda direita é 0,01, então \alpha=0,01 e \nu=4. Buscamos c com
P\!\bigl(\chi_{4}^{2}>c\bigr)=0,01,
isto é, o quantil de ordem 1-\alpha=0,99 (99% à esquerda). Consultando a tabela padrão para \nu=4 e \alpha=0,01 obtém‑se
\chi_{0,01;4}^{2}\approx 13,277.
(A aproximação de Wilson–Hilferty dá \approx 13{,}30, muito próxima; o valor tabulado mais usado é 13{,}277.)

Resposta

\chi_{0,99;10}^{2}\approx 2{,}558
\chi_{0,025;29}^{2}\approx 45{,}722
\chi_{0,01;4}^{2}\approx 13{,}277

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