Calcular o ponto de interseção das retas
r:ly=2 x-3 z=4 x-10
e s: x=y-7-3=z-12-7

Passo 1

Temos duas retas no espaço R^3. A reta r está dada por
y = 2x - 3, z = 4x - 10,
e a reta s está em forma simétrica:
x = y-7-3 = z-12-7
O objetivo é encontrar um ponto comum a ambas, ou seja, achar parâmetros que tornem iguais as coordenadas (x,y,z).

Passo 2

Parametrizamos r usando t como parâmetro em x. Assim,
x = t, y = 2t - 3, z = 4t - 10
Logo, qualquer ponto de r é l(t,;2t-3,;4t-10r).

Passo 3

Parametrizamos s usando u em x. Da igualdade x = tfracy-7-3 vem
y - 7 = -3u ;Longrightarrow; y = -3u + 7,
e de x = tfracz-12-7 vem
z - 12 = -7u ;Longrightarrow; z = -7u + 12
Assim, qualquer ponto de s é l(u,;-3u+7,;-7u+12r).

Passo 4

Para que haja interseção, devem existir t e u tais que
t = u, 2t - 3 = -3u + 7, 4t - 10 = -7u + 12

Passo 5

Da primeira equação segue t = u. Substituindo em 2t-3 = -3u+7:
2u - 3 = -3u + 7 Longrightarrow 5u = 10 Longrightarrow u = 2
Verificamos na terceira equação:
4cdot2 - 10 = 8 - 10 = -2, -7cdot2 + 12 = -14 + 12 = -2,
que confere.

Passo 6

Com t = u = 2, o ponto de interseção é
l(x,y,zr) = l(2,;2cdot2-3,;4cdot2-10r) = (2,;1,;-2)

Resposta

O ponto de interseção das retas é (2,1,-2).

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