A reta
r: x-1a=yb=z-2
é paralela à reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e é simultaneamente ortogonal às retas
r1:lx=-t y=-2 t+3 z=3 t-1 e r2:ly=x z=2 x
Calcular a e b.

Passo 1

O enunciado dá a reta
cujo vetor diretor é
O conteúdo é geometria analítica no espaço: vamos usar o fato de que o vetor diretor da reta procurada é o produto vetorial dos vetores diretores de , e então impor o paralelismo com .

Passo 2

Encontramos os vetores diretores de r1 e r2.
Para r1 (parâmetro t):
v1=(-1,,-2,,3)
Para r2 (parâmetro x):
v2=(1,,1,,2)

Passo 3

O vetor diretor da reta que é ortogonal a ambas é
u=v1timesv2
Calculando o produto vetorial:
u = i & j & k -1 & -2 & 3 1 & 1 & 2 =(-2cdot2-3cdot1),i -(-1cdot2-3cdot1),j +(-1cdot1-(-2)cdot1),k,
u=(-4-3,, -(-2-3),, -1+2) =(-7,,5,,1)

Passo 4

Como r é paralela a essa reta, seu vetor diretor v=(a,b,-2) é colinear a u=(-7,5,1). Logo existe escalar k tal que
(a,b,-2)=k,(-7,5,1)
Da componente z vem -2 = kcdot1, ou seja k=-2.

Passo 5

Substituindo k=-2 nas componentes x e y:
a = -2cdot(-7) = 14, b = -2cdot5 = -10

Resposta

a=14 e b=-10.

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