Calcular o valor de n para que seja de 30^circ o ângulo que a reta
r: ly=n x+5 z=2 x-3
forma com o eixo dos y.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta
e pede o valor de seja . Vamos usar o conceito de vetor diretor da reta e a fórmula do produto escalar para ângulo entre vetores.

Passo 2

Para achar o vetor diretor v de r, escolhemos x como parâmetro. Como y varia como n x e z varia como 2x, o vetor diretor é
v = l(1,;n,;2r)

Passo 3

O eixo y tem vetor diretor j = (0,1,0). A fórmula do cosseno do ângulo theta entre v e j é
costheta = |vcdotj||v|;|j| = |n|raiz1 + n^2 + 2^2;times1 = |n|raizn^2 + 5

Passo 4

Queremos theta = 30^circ, então
cos 30^circ = raiz32 Longrightarrow |n|raizn^2 + 5 = raiz32

Passo 5

Elevando ao quadrado,
n^2n^2 + 5 = 34 Longrightarrow 4n^2 = 3(n^2 + 5) Longrightarrow 4n^2 = 3n^2 + 15 Longrightarrow n^2 = 15
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n = pmraiz15

Resposta

n = raiz15 ou n = -raiz15.

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