Calcular a potência de um conjunto motor-bomba, em Watts, com rendimento de 65 \%, para elevar água a uma vazão de 5 litros/s de um desnível de 32 m . Sabe-se que o diâmetro da tubulação de recalque é de 2^{\prime \prime} e que as perdas de carga nas tubulações foram estimadas em 18 \mathrm{~V}^{2} / 2 \mathrm{~g}.
Valor: 3 pontos
Boa Sorte!

Passo 1

O enunciado pede a potência do conjunto motor-bomba, em Watts, sabendo que o rendimento é de 65\%. Os dados fornecidos são:
\begin{aligned} &\text{Vazão: }Q=5\\ \text{L/s}\\\ &\text{Desnível (carga estática): }H_s=32\\ \mathrm{m}\\\ &\text{Diâmetro da tubulação: }D=2''\\\ &\text{Perdas de carga estimadas: }h_{\text{perdas}}=\frac{18\,V^{2}}{2g}\\\ &\text{Rendimento: }\eta=65\%=0{,}65 \end{aligned}ãíáâçã
Esses são todos os números que podemos usar diretamente. No próximo passo vamos converter unidades e calcular passo a passo as grandezas necessárias (área, velocidade, perdas, potência hidráulica e potência do motor).

Passo 2

Converter unidades para o sistema SI:
\begin{aligned} &Q=5\\ \text{L/s}=5\cdot10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/s}=0{,}005\\ \mathrm{m^{3}/s},\\\ &D=2''=2\cdot0{,}0254\\ \mathrm{m}=0{,}0508\\ \mathrm{m}. \end{aligned}
Explicação rápida: 1\\ \text{L}=10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}} e 1''=0{,}0254\\ \mathrm{m}. Sempre converta para SI para usar g em \mathrm{m/s^{2}} e \rho em \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 3

Calcular a área da seção transversal da tubulação. Fórmula da área de um círculo:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0{,}0508\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi\,(0{,}0508)^{2}}{4}\approx0{,}002027\\ \mathrm{m^{2}}.
Explicação: essa área é importante para transformar vazão volumétrica Q em velocidade média V.

Passo 4

Calcular a velocidade média da água na tubulação usando
V=\frac{Q}{A}.
Substituindo Q=0{,}005\\ \mathrm{m^{3}/s} e A\approx0{,}002027\\ \mathrm{m^{2}}:
V=\frac{0{,}005}{0{,}002027}\approx2{,}467\\ \mathrm{m/s}.
Interpretação: V é a velocidade média do fluido na tubulação; ela entra na expressão da “velocity head” que aparece nas perdas.

Passo 5

Calcular as perdas de carga dadas pela expressão do enunciado:
h_{\text{perdas}}=\frac{18\,V^{2}}{2g}.
Primeiro calcular V^{2} e 2g (usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}):
V^{2}\approx(2{,}467)^{2}\approx6{,}0846,\qquad 2g=2\cdot9{,}81=19{,}62.
Logo
\frac{V^{2}}{2g}\approx\frac{6{,}0846}{19{,}62}\approx0{,}3102,
e então
h_{\text{perdas}}=18\cdot0{,}3102\approx5{,}584\\ \mathrm{m}.
Explicação: a quantidade V^{2}/(2g) é chamada de “velocity head” (carga cinética convertida em metros de coluna d’água); o fator 18 aqui representa uma estimativa das perdas totais relativas a esse termo.

Passo 6

Calcular a carga total que a bomba precisa vencer (carga estática + perdas):
H_{\text{total}}=H_{s}+h_{\text{perdas}}=32+5{,}584\approx37{,}584\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calcular a potência hidráulica (potência útil entregue ao fluido). Fórmula:
P_{\text{hid}}=\rho g Q H_{\text{total}},
onde \rho é a densidade da água ( \rho\approx1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}) e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}. Substituindo:
\rho Q=1000\cdot0{,}005=5\\ \mathrm{kg/s},
P_{\text{hid}}=5\cdot9{,}81\cdot37{,}584\approx1843{,}48\\ \mathrm{W}.
Explicação: P_{\text{hid}} é a potência que a bomba realmente precisa fornecer ao fluido para elevar a vazão pela carga total H_{\text{total}}.

Passo 8

Calcular a potência do conjunto motor-bomba considerando o rendimento \eta. Relação:
P_{\text{motor}}=\frac{P_{\text{hid}}}{\eta}.
Substituindo P_{\text{hid}}\approx1843{,}48\\ \mathrm{W} e \eta=0{,}65:
P_{\text{motor}}=\frac{1843{,}48}{0{,}65}\approx2836{,}12\\ \mathrm{W}.
Interpretação: como o rendimento é menor que 100\%, o motor precisa fornecer mais potência elétrica/mecânica do que a potência hidráulica calculada.

Passo 9

Arredondamento e forma prática: é comum apresentar potência em kW com duas casas significativas. Convertendo,
P_{\text{motor}}\approx2{,}84\\ \mathrm{kW},
mas como o enunciado pediu em Watts, mantemos o valor em W (veja a resposta final).

Resposta

2836{,}12\\ \mathrm{W}

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