Uma placa plana de espessura L=0.05 \mathrm{~m} e condutividade térmica k=15 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} tem as faces mantidas a T_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} e T_{2}=20^{\circ} \mathrm{C}. a) Obtenha a distribuição de temperatura T(x). b) Calcule o fluxo de calor por unidade de área q^{\prime \prime}. (Resposta: q^{\prime \prime}=3.0 \times 10^{4} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} )

Passo 1

O enunciado dá uma placa plana com espessura \,L=0,05\\ \mathrm{m}\, e condutividade térmica \,k=15\\ \mathrm{W}/\mathrm{mK}\,. As faces são mantidas nas temperaturas \,T_{1}=120^\circ\mathrm{C}\, (em x=0) e \,T_{2}=20^\circ\mathrm{C}\, (em x=L).
As perguntas são:
a) obter a distribuição de temperatura \,T(x)\, dentro da placa;
b) calcular o fluxo de calor por unidade de área \,q^{\prime\prime}\,.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: em regime permanente, sem geração interna de calor e assumindo condução unidimensional (temperatura varia só com x), a equação de conservação reduz-se a
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=0.
Explicando isso devagar: \,T(x)\, é a temperatura em função da posição x. A igualdade a zero aparece porque, em estado estacionário e sem fontes internas, não há acúmulo de calor dentro da placa — o perfil de temperatura é uma função cuja segunda derivada é zero (ou seja, é uma reta).
A lei de Fourier relaciona fluxo de calor com gradiente de temperatura:
q_{x}^{\prime\prime} = -\,k\,\frac{dT}{dx},
onde \,q_{x}^{\prime\prime}\, é o fluxo de calor por unidade de área no sentido positivo x, k é a condutividade térmica e \frac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura. O sinal negativo indica que o calor flui no sentido de decrescimento da temperatura (do quente para o frio).

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial \frac{d^{2}T}{dx^{2}}=0: integramos uma vez
\frac{dT}{dx}=C_{1},
onde C_{1} é constante. Integramos de novo
T(x)=C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Agora aplicamos as condições de contorno: em x=0 temos T(0)=T_{1}, logo
T(0)=C_{2}=T_{1}.
Em x=L temos T(L)=T_{2}, logo
T(L)=C_{1}L+T_{1}=T_{2}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=\frac{T_{2}-T_{1}}{L}.
Portanto a distribuição de temperatura é
T(x)=T_{1}+\left(\frac{T_{2}-T_{1}}{L}\right)x.
Este é um perfil linear — você pode decorar isso para prova: temperatura varia linearmente entre as faces quando não há geração interna e propriedades são constantes.
Substituindo os valores numéricos (observe que uso vírgula como separador decimal):
\frac{T_{2}-T_{1}}{L}=\frac{20-120}{0,05}=\frac{-100}{0,05}=-2000\\ \mathrm{K/m}.
Logo
T(x)=120^\circ\mathrm{C}-2000\,x\qquad(\text{com }x\text{ em metros}).

Passo 4

Agora calculamos o fluxo de calor usando a lei de Fourier. Como \frac{dT}{dx}=C_{1}=\dfrac{T_{2}-T_{1}}{L}, temos
q^{\prime\prime}=-k\,\frac{dT}{dx}=-k\left(\frac{T_{2}-T_{1}}{L}\right)=k\left(\frac{T_{1}-T_{2}}{L}\right).
Explicando: trocamos o sinal para obter a forma positiva quando T_{1}>T_{2}, já que o calor sai da face quente. Agora substituímos números:
\frac{T_{1}-T_{2}}{L}=\frac{120-20}{0,05}=\frac{100}{0,05}=2000\\ \mathrm{K/m}.
Multiplicando por k:
q^{\prime\prime}=15\cdot 2000=30000\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.
Em notação científica:
q^{\prime\prime}=3,0\times10^{4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}.

Passo 5

Interpretação final e dica de prova: o perfil T(x)=T_{1}+(T_{2}-T_{1})x/L é uma forma rápida de escrever a solução — memorize-a. O fluxo positivo calculado indica calor fluindo da face em x=0 (a 120^\circ\mathrm{C}) para a face em x=L (a 20^\circ\mathrm{C}). Vai dar tudo certo — respira fundo e use esse passo a passo na prova.

Resposta

T(x)=120^\circ\mathrm{C}+\left(\frac{20^\circ\mathrm{C}-120^\circ\mathrm{C}}{0,05\\ \mathrm{m}}\right)x=120^\circ\mathrm{C}-2000\,x
q^{\prime\prime}=3,0\times10^{4}\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}

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