Como calcular o potencial elétrico de um cilindro de raio R infinito uniformemente carregado com densidade de carga linear lambda ? Qual é a expressão para o potencial em um ponto a uma distância r do eixo do cilindro?

Passo 1

Beleza, o problema pede o potencial elétrico de um cilindro infinito de raio que tem carga “espalhada” de modo que a quantidade de carga por comprimento é .
Conteúdo envolvido:
  • Simetria cilíndrica e Lei de Gauss para achar o campo dentro ( ) e fora ( ) do cilindro.
  • Definição de potencial elétrico .
    O plano é: usar Gauss pra achar e depois integrar para obter , escolhendo uma referência conveniente (vamos pôr ).

Passo 2

(A) Primeiro, achando o campo pelo teorema de Gauss.
– Simetria cilíndrica diz que Phi = oint Ecdot dA = E(r),(2pi r L) = Qintvarepsilon0 tem só componente radial boxedE(r)= dfraclambda2pivarepsilon0,dfracrR^2, & r= R .
– Superfície gaussiana: cilindro coaxial de raio e comprimento .
– A carga dentro dele:
  • Para , só a parte interna do cilindro participa, . Como ,
    .
  • Para , toda a carga por comprimento está dentro: .
    – Aplicando Gauss:
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Passo 3

(B) Agora vamos ao potencial. Lembrando que
V(r)-V(R) ;=; -integralR^r E(r'),dr'
E escolhemos V(r) = -integralR^rlambda2pivarepsilon0,1r',dr' = -lambda2pivarepsilon0l[ln r'r]R^r = lambda2pivarepsilon0,ln!Rr .
– Para V(r) = -integralR^rlambda2pivarepsilon0,r'R^2,dr' = -lambda2pivarepsilon0 R^2,r'^22|R^r = -lambda4pivarepsilon0 R^2,(r^2-R^2) = lambda4pivarepsilon0 R^2,(R^2 - r^2) :
– Para :

Resposta

boxedV(r)= lambda4pivarepsilon0 R^2,l(R^2 - r^2r), & r < R,[8pt] lambda2pivarepsilon0,ln!Rr, & r >= R

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