Calcule o potencial elétrico de uma esfera uniformemente carregada nas seguintes situações:
Esfera oca (carga distribuída na superfície)?

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente achar o potencial elétrico de uma esfera oca (isto é, toda a carga está só na casca, superfície, de raio ). O tema aqui é eletrostática: vamos usar a Lei de Gauss para achar o campo elétrico e depois integrar para obter o potencial .

Passo 2

Primeiro estamos afim de oint Ecdot dA ;=;Qrm intvarepsilon0 fora da esfera, para E(r),4pi r^2 ;=;Qvarepsilon0 Longrightarrow E(r);=;14pivarepsilon0,Qr^2 .
  1. Pegamos uma superfície gaussiana esférica de raio .
  2. A Lei de Gauss diz
  1. Como a carga total está toda na casca e , .
  2. é radial e constante na superfície, então

Passo 3

Agora o campo dentro da casca, para E(r),4pi r^2 = 0 Longrightarrow E(r)=0para r.
  1. Escolhemos de novo uma esfera gaussiana de raio .
  2. Dentro da casca não há carga (toda está em ), então .
  3. Pela Lei de Gauss,

Passo 4

Com V(r);=;- integralinfty^r Ecdot dell ;=;- integralinfty^r E(r'),dr', em mãos, usamos a definição de potencial (tomando V(r) =-integralinfty^r14pivarepsilon0Qr'^2,dr' =14pivarepsilon0,Qr ):
V(r)=V(R)=14pivarepsilon0,QR
já que é radial.
  1. Para :
  1. Para :
    Como dentro, o potencial é constante lá dentro e igual ao valor em . Logo

Resposta

O potencial da esfera oca de carga V(r)= dfrac14pivarepsilon0,dfracQr,, & r>= R,[6pt] dfrac14pivarepsilon0,dfracQR,, & r< R e raio é:

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