Duas bolinhas de gude, uma de
e outra de
, são jogadas no ar e seguem trajetórias parabólicas. As posições das bolinhas em função do tempo são dadas respectivamente por
(a) Determine a posição, a velocidade e a aceleração do centro de massa do sistema. (b)
Mostre que cada bolinha se move com velocidade constante em relação ao centro de massa.
Resposta: (a)
. (b)
e
Resposta: (a)
Passo 1
Entendendo o problema e os conceitos envolvidos
Vamos lá! Temos duas bolinhas de gude com massas diferentes sendo jogadas no ar, seguindo trajetórias parabólicas. As trajetórias delas são dadas por funções vetoriais de posição em relação ao tempo $ t $. O que a questão pede é para a gente encontrar:
(a) A posição, a velocidade e a aceleração do centro de massa do sistema formado pelas duas bolinhas.
(b) Mostrar que cada bolinha se move com velocidade constante em relação ao centro de massa.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de Centro de Massa, que é um ponto que representa a média ponderada das posições de todas as partículas de um sistema, considerando suas massas. Também vamos utilizar cálculo vetorial para derivar velocidade e aceleração a partir das posições.
Passo 2
Dados do problema
Vamos organizar as informações que temos:
- Massa da primeira bolinha ($ m_1 $): 0,10 kg
- Massa da segunda bolinha ($ m_2 $): 0,15 kg
As posições em função do tempo são:
Passo 3
Calculando a posição do centro de massa ($ \vec{r}_{\mathrm{CM}} $)
A posição do centro de massa é dada pela fórmula:
Vamos substituir os valores:
Calculando o numerador e o denominador:
Denominador:
Numerador:
Somando os componentes $ \hat{i} $ e $ \hat{j} $:
Portanto,
Dividindo cada componente por 0,25:
Passo 4
Calculando a velocidade do centro de massa ($ \vec{v}_{\mathrm{CM}} $)
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Derivando cada componente:
Então,
Passo 5
Calculando a aceleração do centro de massa ($ \vec{a}_{\mathrm{CM}} $)
A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente:
Então,
Passo 6
Mostrando que cada bolinha se move com velocidade constante em relação ao centro de massa
Queremos mostrar que as velocidades relativas ($ \vec{v}’ $) das bolinhas em relação ao centro de massa são constantes. A velocidade relativa é dada por:
Vamos calcular para cada bolinha.
Primeira bolinha ($ \vec{v}_1 $)
Derivando $ \vec{r}_1(t) $:
Calculando a velocidade relativa:
Subtraindo componente a componente:
Segunda bolinha ($ \vec{v}_2 $)
Derivando $ \vec{r}_2(t) $:
Calculando a velocidade relativa:
Subtraindo componente a componente:
Notamos que ambas as velocidades relativas são constantes, ou seja, não dependem do tempo $ t $.
Resposta
(a)
,
e
.
(b)
e
.