Calcular y^prime=d yd x das seguintes funções definidas implicitamente.
a) x^3+x^2 y+y^2=0
b) y^3=x+yx-y
c) tg y=x y

Passo 1

O enunciado nos dá três equações definidas implicitamente e pede a derivada implícita y'=dfracdydx em cada caso. Vamos usar derivação implícita, aplicando regra do produto, quociente e cadeia conforme necessário, e depois isolar y'.

Passo 2

Para (a) x^3+x^2y+y^2=0, derivamos ambos os lados em relação a x.
  • De x^3 vem 3x^2.
  • De x^2y aplicamos regra do produto: dfracddx(x^2y)=2x,y+x^2,y'.
  • De y^2 aplicamos regra da cadeia: dfracddx(y^2)=2y,y'.
    Somando tudo e igualando a zero:
3x^2 + l(2x,y + x^2,y'r) + 2y,y' = 0
Agrupando termos com y' e isolando:
y'(x^2 + 2y) = -l(2x,y + 3x^2r), y' = -2x,y + 3x^2,x^2 + 2y,

Passo 3

Para (b) y^3=dfracx+yx-y, escrevemos
y^3 = x + yx - y
Derivando ambos os lados:
  • Lado esquerdo: dfracddx(y^3)=3y^2,y'.
  • Lado direito: regra do quociente
ddxl(x+yx-yr) = (1+y')(x-y)-(x+y)(1-y')(x-y)^2
Logo
3y^2,y' = (1+y')(x-y)-(x+y)(1-y')(x-y)^2
Multiplicando por (x-y)^2 e expandindo, chega-se a
3y^2,y',(x-y)^2 = 2l(x,y' - yr)
Agora agrupamos y' e isolamos:
y'l(3y^2,(x-y)^2 - 2xr) = -2y, y' = -2y3y^2,(x-y)^2 - 2x = 2y2x - 3y^2,(x-y)^2

Passo 4

Para (c) tan y = x,y, derivamos:
  • De tan y vem sec^2 y,y'.
  • De x,y vem 1cdot y + xcdot y'.
    Assim
sec^2 y,y' = y + x,y'
Agrupando termos com y' e isolando:
y'(sec^2 y - x) = y, y' = ysec^2 y - x

Resposta

(a) y' = -2x,y + 3x^2x^2 + 2y.
(b) y' = 2y2x - 3y^2,(x - y)^2.
(c) y' = ysec^2 y - x.

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