3-
Seja P o pentágono em R^2 cujos vétices, quando percorridos no sentido anti-horário, são (0,0) (1,0) (100,2) (72,4) (0,3)
Calcule
12 integralP-y d x+x d y
square

Passo 1

O enunciado dá um pentágono PsubsetR^2 com vértices, em ordem anti-horária,
(0,0), (1,0), (100,2), (72,4), (0,3),
e pede
12ointpartial P(-y,dx + x,dy)
O conteúdo aqui é o Teorema de Green e a fórmula do polígono (shoelace) para calcular áreas.

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos
ointpartial P(-y,dx + x,dy) =ointpartial P(x,dy - y,dx) =2,Área(P), Á
portanto
12ointpartial P(-y,dx + x,dy) =Área(P) Á

Passo 3

Para calcular Área(P)Á via shoelace, listamos os vértices e repetimos o primeiro no fim:
(0,0),;(1,0),;(100,2),;(72,4),;(0,3),;(0,0)
Definimos
S1=sumi xi,yi+1, S2=sumi yi,xi+1
Calculamos:
S1=0cdot0 + 1cdot2 + 100cdot4 + 72cdot3 + 0cdot0 = 618,
S2=0cdot1 + 0cdot100 + 2cdot72 + 4cdot0 + 3cdot0 = 144

Passo 4

A área do polígono é
Área(P)=|S1 - S2|2 =618 - 1442 =237 Á

Resposta

237

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