7-
Seja A a área do paralelogramo cujos vértices são (0,0,0) (18,2,10) (0,-4,20) (18,-2,30)
Determine A^2.
square

Passo 1

O enunciado pede a área A de um paralelogramo em R^3 cujos vértices são
(0,0,0), (18,2,10), (0,-4,20) e (18,-2,30).
O conteúdo que vamos usar é que, se v e w são os vetores que formam lados adjacentes do paralelogramo, então
A = |v times w|
e portanto
A^2 = |v times w|^2

Passo 2

Escolhemos como vértice de referência a origem (0,0,0). Então os dois vetores lados são
v = (18,2,10) - (0,0,0) = (18,2,10),
w = (0,-4,20) - (0,0,0) = (0,-4,20)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial v times w pelo determinante:
v times w = i & j & k 18 & 2 & 10 0 & -4 & 20 = (2cdot20 - 10cdot(-4)),i - (18cdot20 - 10cdot0),j + (18cdot(-4) - 2cdot0),k
Fazendo as contas:
v times w = 80,i - 360,j - 72,k

Passo 4

Agora computamos o quadrado da norma de vtimesw:
A^2 = |v times w|^2 = 80^2 + (-360)^2 + (-72)^2 = 6400 + 129600 + 5184 = 141184

Resposta

141184

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