6-
Seja
o cilindro
Qual o valor de
square
Seja
Qual o valor de
Passo 1
O enunciado pede para calcular o integral da 2-forma
omega = x^2,dxwed>= dy ;+; y,dywed>= dz ;-; dxwed>= dz
sobre a superfície lateral do cilindro
sobre a superfície lateral do cilindro
O conteúdo é reescrever a 2-forma como fluxo de um campo vetorial e usar parametrização cilíndrica.
Passo 2
Lembramos que uma 2-forma
corresponde ao fluxo do campo
F=(R,S,T) através da superfície, isto é
Passo 3
Identificamos em
omega = x^2,dxwed>= dy + y,dywed>= dz - dxwed>= dz os coeficientes
logo
F(x,y,z)=(y,,-1,,x^2)
Passo 4
Parametrizamos a superfície lateral por
Então
e
Portanto o versor normal exterior é
n=(costheta,sintheta,0) e
Passo 5
No integrando fica
Logo
Passo 6
Fatorando constantes:
Como
integral0^2pisin2theta,dtheta=0
e
integral0^2pisintheta,dtheta=0,
o integral vale zero.
e
o integral vale zero.