6-
Seja C o cilindro
x^2+y^2=18^2, 0 <= z <= 5
Qual o valor de
|integralC x^2 d x wed>= d y+y d y wed>= d z-d x wed>= d z| ?
square

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral da 2-forma
omega = x^2,dxwed>= dy ;+; y,dywed>= dz ;-; dxwed>= dz
sobre a superfície lateral do cilindro
;x^2+y^2=18^2, 0<= z<=5
O conteúdo é reescrever a 2-forma como fluxo de um campo vetorial e usar parametrização cilíndrica.

Passo 2

Lembramos que uma 2-forma
omega = R,dywed>= dz ;+; S,dzwed>= dx ;+; T,dxwed>= dy
corresponde ao fluxo do campo F=(R,S,T) através da superfície, isto é
integralSomega = integralS Fcdot n,dS

Passo 3

Identificamos em omega = x^2,dxwed>= dy + y,dywed>= dz - dxwed>= dz os coeficientes
R = y, S = -1, T = x^2,
logo F(x,y,z)=(y,,-1,,x^2)

Passo 4

Parametrizamos a superfície lateral por
r(theta,z) = (18costheta,;18sintheta,;z), 0<=theta<=2pi,;0<= z<=5
Então
rtheta = (-18sintheta,18costheta,0), rz = (0,0,1),
e
rthetatimes rz = (18costheta,18sintheta,0) =18(costheta,sintheta,0)
Portanto o versor normal exterior é n=(costheta,sintheta,0) e
dS = 18,dtheta,dz

Passo 5

No integrando fica
Fl( r(theta,z)r)cdot n = l(y,,-1,,x^2r)cdot(costheta,sintheta,0) = ycostheta ;-;sintheta =18sinthetacostheta-sintheta
Logo
omega-fluxo =integral0^5!integral0^2pi l(18sinthetacostheta-sinthetar),18,dtheta,dz

Passo 6

Fatorando constantes:
integral0^5!integral0^2pi l(18sinthetacostheta-sinthetar)18,dtheta,dz =18cdot5;integral0^2pi(18sinthetacostheta-sintheta),dtheta
Como
integral0^2pisin2theta,dtheta=0
e
integral0^2pisintheta,dtheta=0,
o integral vale zero.

Resposta

gl|integralComegagr| = 0

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