Calcular os produtos de matriciais:
\left[\begin{array}{ccc}1 & 5 & 2 \\\\ -1 & 4 & 7\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\\\ 2 & 3 \\\\ -3 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede o produto da matriz A de dimensão 2\times3 pela matriz B de dimensão 3\times2. Vamos usar o conceito de multiplicação de matrizes, em que cada entrada do produto é o produto escalar de uma linha de A por uma coluna de B.

Passo 2

Para saber se o produto AB existe, conferimos se o número de colunas de A (que é 3) coincide com o número de linhas de B (que também é 3). Como coincide, o resultado será uma matriz de dimensão 2\times2. A fórmula geral para o elemento (AB)_{ij} é
(AB)_{ij} \;=\;\sum_{k=1}^{3}a_{ik}\,b_{kj}\,.
As matrizes envolvidas são
A = \begin{bmatrix} 1 & 5 & 2 \\[6pt] -1 & 4 & 7 \end{bmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\[3pt] 2 & 3 \\[3pt] -3 & 0 \end{bmatrix}.]

Passo 3

Vamos calcular a primeira linha de AB.
Para (AB)_{11}:
(AB)_{11} = 1\cdot1 + 5\cdot2 + 2\cdot(-3) = 1 + 10 - 6 = 5.
Para (AB)_{12}:
(AB)_{12} = 1\cdot(-1) + 5\cdot3 + 2\cdot0 = -1 + 15 + 0 = 14.

Passo 4

Agora calculamos a segunda linha de AB.
Para (AB)_{21}:
(AB)_{21} = (-1)\cdot1 + 4\cdot2 + 7\cdot(-3) = -1 + 8 - 21 = -14.
Para (AB)_{22}:
(AB)_{22} = (-1)\cdot(-1) + 4\cdot3 + 7\cdot0 = 1 + 12 + 0 = 13.

Resposta

AB = \begin{bmatrix} 5 & 14 \\[3pt] -14 & 13 \end{bmatrix}.]

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