Calcular o rendimento volumétrico teórico e a razão máxima de compressão de um compressor alternativo monocilíndrico de simples efeito com a configuração a seguir, sabendo-se que a pressão atmosférica é de 101,325 \mathrm{kPa}.
Diâmetro do pistão: 13 in ; Curso do pistão: 8 in ; Volume morto: 180 \mathrm{in}^{3}; Pressão de admissão: atmosférica; Pressão de descarga manométrica: 300 kPa ; Expoente adiabático do gás: 1,274

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: o rendimento volumétrico teórico e a razão máxima de compressão de um compressor alternativo monocilíndrico de simples efeito, sabendo que a pressão atmosférica é 101{,}325\\ \mathrm{kPa}. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente e já em unidades consistentes entre si):
\begin{aligned} &\text{Diâmetro do pistão: } d = 13\\ \mathrm{in},\\\ &\text{Curso do pistão: } S = 8\\ \mathrm{in},\\\ &\text{Volume morto (clearance): } V_c = 180\\ \mathrm{in}^3,\\\ &\text{Pressão de admissão (sucção): } P_a = 101{,}325\\ \mathrm{kPa}\\ (\text{atmosfera}),\\\ &\text{Pressão de descarga manométrica: } 300\\ \mathrm{kPa}\\ (\text{isto é, acima da atmosf.}),\\\ &\text{Logo a pressão de descarga absoluta: } P_d = P_a + 300\\ \mathrm{kPa},\\\ &\text{Expoente adiabático: } \gamma = 1{,}274. \end{aligned}âããããçããééãá
Observação importante (para não nos perder): mais adiante vou precisar do volume deslocado (swept volume) V_s, da razão de clearance C=V_c/V_s e da lei de expansão/compressão adiabática P V^\gamma=\text{const}. Não resolvo nada aqui, só organizei o que foi dado.

Passo 2

Calcular a área do pistão e o volume deslocado (swept volume) V_s. Fórmula da área de um círculo:
A = \frac{\pi d^2}{4}.
Aqui d é o diâmetro do pistão em polegadas. Substituindo:
A = \frac{\pi (13)^2}{4} = \frac{\pi\cdot 169}{4} = 42{,}25\pi\\ \mathrm{in}^2 \approx 132{,}732289\\ \mathrm{in}^2.
Volume deslocado:
V_s = A\cdot S = 132{,}732289\\ \mathrm{in}^2 \times 8\\ \mathrm{in} = 1061{,}858312\\ \mathrm{in}^3.
Agora a razão de clearance (ou razão de volume morto):
C=\frac{V_c}{V_s} = \frac{180}{1061{,}858312}\approx 0{,}16951.
Expliquei cada fórmula e calculei passo a passo para você poder refazer na prova com lápis e papel.

Passo 3

Calcular a pressão de descarga absoluta P_d e a razão de pressões P_d/P_a:
P_d = P_a + 300\\ \mathrm{kPa} = 101{,}325 + 300 = 401{,}325\\ \mathrm{kPa}.
\frac{P_d}{P_a} = \frac{401{,}325}{101{,}325}\approx 3{,}96113.
Vou usar essa razão na lei adiabática em seguida.

Passo 4

Derivar a expressão do rendimento volumétrico teórico \eta_v para compressor com clearance considerando processo de re-expansão adiabática até a pressão de sucção.
Conceito físico (passo-a-passo): ao final da corrida de compressão (TDC) fica o volume de clearance V_c a pressão P_d. Durante o retorno (expansão), esse gás se expande adiabaticamente de P_d até P_a. A abertura da válvula de sucção ocorre quando a pressão dentro do cilindro cai até P_a; naquele momento o volume interno é
V_e\quad\text{(volume no momento da abertura da sucção)}.çã
Pela lei adiabática P V^\gamma= const entre o estado ao final da descarga e o estado de abertura da sucção:
P_d V_c^\gamma = P_a V_e^\gamma \quad\Rightarrow\quad V_e = V_c\left(\frac{P_d}{P_a}\right)^{1/\gamma}.
O volume de gás novo admitido na corrida de sucção é o volume que entra entre V_e e o volume final no BDC que é V_c+V_s. Portanto o volume admitido é
V_{\text{admitido}} = (V_c+V_s) - V_e.
Definição do rendimento volumétrico teórico (fração do swept volume que é efetivamente admitida como gás novo):
\eta_v = \frac{V_{\text{admitido}}}{V_s} = \frac{V_c+V_s - V_e}{V_s} = 1 + \frac{V_c}{V_s} - \frac{V_e}{V_s}.
Substituindo C=V_c/V_s e V_e da lei adiabática:
\boxed{\eta_v = 1 + C - C\left(\frac{P_d}{P_a}\right)^{1/\gamma} = 1 + C\left[1-\left(\frac{P_d}{P_a}\right)^{1/\gamma}\right].}
Expliquei a origem física e cada substituição para você entender e reproduzir na prova.

Passo 5

Calcular numericamente o rendimento volumétrico usando os valores que já obtivemos:
\left(\frac{P_d}{P_a}\right)^{1/\gamma} \approx (3{,}96113)^{1/1{,}274}.
Calculemos o expoente 1/\gamma:
\frac{1}{\gamma}=\frac{1}{1{,}274}\approx 0{,}78484.
Logo
\left(\frac{P_d}{P_a}\right)^{1/\gamma}\approx 3{,}96113^{0{,}78484}\approx 2{,}9427.
Agora aplicar na fórmula de \eta_v com C\approx 0{,}16951:
\eta_v = 1 + 0{,}16951 - 0{,}16951\times 2{,}9427.
Calcule o termo:
0{,}16951\times 2{,}9427 \approx 0{,}32921.
Portanto
\eta_v \approx 1 - 0{,}32921 = 0{,}67079 \approx 0{,}6708.
Convertendo para porcentagem:
\eta_v \approx 67{,}08\%.
Interpretação intuitiva: com esse clearance e essa pressão de descarga o compressor enche cerca de 67\% do volume varrido com ar novo a cada curso — o resto é re-expansão do gás remanescente.

Passo 6

Definir e calcular a “razão máxima de compressão”. Aqui há duas formas de entender o termo, então explico e escolho a interpretação usada:
  • Interpretação A (geométrica): a razão volumétrica geométrica máxima que o cilindro permite é a razão entre o volume máximo (BDC) e o mínimo (TDC):
r_{\text{geom}} = \frac{V_c+V_s}{V_c}.
Essa razão é fixa pela geometria do cilindro (curso e clearance).
  • Interpretação B (necessária para atingir P_d por compressão adiabática): a razão volumétrica necessária para comprimir adiabaticamente o gás de P_a até P_d é
r_{\text{req}} = \frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{P_d}{P_a}\right)^{1/\gamma}.
Note que r_{\text{req}} foi calculada no Passo 5 e vale aproximadamente 2{,}9427.
Na linguagem de máquinas, normalmente por “razão de compressão” se entende a razão geométrica r_{\text{geom}} (como em motores: V_{\max}/V_{\min}). Vou então calcular r_{\text{geom}} e mostrar a comparação com r_{\text{req}} (assim você vê se a geometria do compressor é suficiente para alcançar a pressão de descarga desejada).
Calcular r_{\text{geom}}:
r_{\text{geom}} = \frac{V_c + V_s}{V_c} = 1 + \frac{V_s}{V_c} = 1 + \frac{1061{,}858312}{180} \approx 1 + 5{,}8981 \approx 6{,}8981.
Comparação: r_{\text{req}}\approx 2{,}9427 < r_{\text{geom}}\approx 6{,}8981. Isso significa que geometricamente o compressor é capaz de alcançar a compressão adiabática necessária para obter a pressão P_d (há folga geométrica).

Resposta

\eta_v \approx 0{,}6708 (ou 67{,}08\%).
r_{\text{máx (geométrico)}} \approx 6{,}898áé.

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