Calcule a potência total de acionamento de um compressor alternativo de pistão não lubrificado, com dois cilindros horizontais de duplo efeito, iguais e opostos, que comprimem gás em um estágio, cujas características do compressor e do gás estão relacionadas a seguir. Utilize para o cálculo do rendimento volumétrico a equação que considera se o compressor é ou não lubrificado.
Rotação: 1.200rpm; Diâmetro do pistão: 13in; Diâmetro da haste: 2in; Curso do pistão: 8in; Clearance do lado da tampa: 25 \%; Clearance do lado da haste: 15 \%; Rendimento termodinâmico: 82 \%; Rendimento mecânico: 92,3 \%; Temperatura de admissão: 32^{\circ} \mathrm{C}; Pressão manométrica de admissão: 500 kPa ; Pressão manométrica de descarga: 1.600 kPa ; Massa molecular: 17,5 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}; Expoente adiabático: 1,28; Fator de compressibilidade na admissão: 0,988 ; Fator de compressibilidade na descarga: 0,986 .

Passo 1

O enunciado pede: calcular a potência total de acionamento (potência no eixo do motor) de um compressor alternativo de pistão não lubrificado, com dois cilindros horizontais de duplo efeito (iguais e opostos), comprime gás em um estágio. Dados fornecidos (vou listá‑los e com as unidades convertidas quando preciso):
  • Rotação: 1200\\ \mathrm{rpm}.
  • Diâmetro do pistão: D=13\\ \mathrm{in}.
  • Diâmetro da haste: d=2\\ \mathrm{in}.
  • Curso do pistão: L=8\\ \mathrm{in}.
  • Clearance do lado da tampa (head): C_h=25\%=0,25.
  • Clearance do lado da haste (rod): C_r=15\%=0,15.
  • Rendimento termodinâmico: \eta_{th}=82\%=0,82.
  • Rendimento mecânico: \eta_{m}=92{,}3\% = 0,923.
  • Temperatura de admissão: 32^\circ\mathrm{C} \Rightarrow T_1=32+273{,}15=305{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Pressão manométrica de admissão: p_{1,man}=500\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão manométrica de descarga: p_{2,man}=1600\\ \mathrm{kPa}.
    Observação importante: como as pressões foram dadas como “manométricas”, eu vou transformá‑las em pressões absolutas somando a pressão atmosférica padrão p_{atm}=101{,}325\\ \mathrm{kPa}: p_1 = p_{1,man}+p_{atm},\quad p_2 = p_{2,man}+p_{atm}.
  • Massa molecular: M=17{,}5\\ \mathrm{g/mol}=0{,}0175\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Expoente adiabático (usado como expoente politrópico n neste problema): n=1{,}28.
  • Fator de compressibilidade na admissão: Z_1=0{,}988.
  • Fator de compressibilidade na descarga: Z_2=0{,}986.
O que vou calcular passo a passo: (1) volumes varridos e áreas do pistão / haste; (2) rendimento volumétrico por lado (lado head e lado rod) usando a fórmula que considera clearance; (3) vazão volumétrica e massa de gás admitida; (4) trabalho específico de compressão politrópica e potência indicada; (5) corrigir pela eficiência termodinâmica e mecânica para obter a potência no eixo (potência total de acionamento). Vou usar a equação clássica do rendimento volumétrico com clearance:
\eta_v = 1 + C\left[1 - \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1/n}\right],
aplicando separadamente ao lado head (clearance C_h) e ao lado rod (clearance C_r), e depois fazendo média ponderada pelo volume varrido de cada lado (já que o lado da haste tem área reduzida). Não vou pedir esclarecimentos — suponho p_{atm}=101{,}325\\ \mathrm{kPa}.

Passo 2

Conversões geométricas e pressão absoluta:
  • Converter polegadas para metros: 1\\ \mathrm{in}=0{,}0254\\ \mathrm{m}. D=13\\ \mathrm{in}=13\cdot 0{,}0254=0{,}3302\\ \mathrm{m},
d=2\\ \mathrm{in}=2\cdot 0{,}0254=0{,}0508\\ \mathrm{m},
L=8\\ \mathrm{in}=8\cdot 0{,}0254=0{,}2032\\ \mathrm{m}.
  • Pressões absolutas (somando p_{atm}=101{,}325\\ \mathrm{kPa}): p_1 = 500 + 101{,}325 = 601{,}325\\ \mathrm{kPa} = 601{,}325\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa},
p_2 = 1600 + 101{,}325 = 1701{,}325\\ \mathrm{kPa} = 1701{,}325\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
  • Constante dos gases específica do gás: R = \frac{8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}}{M} = \frac{8{,}314462618}{0{,}0175}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)} \approx 475{,}40\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.

Passo 3

Áreas do pistão e volumes varridos (swept volumes) dos dois lados do pistão:
  • Área do pistão (lado head, sem haste):
    A_h = \frac{\pi D^{2}}{4} = \frac{\pi (0{,}3302)^{2}}{4}\\ \mathrm{m^{2}} \approx 0{,}08562\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Área do lado haste (rod side) — área efetiva reduzida pela haste:
    A_r = \frac{\pi}{4}(D^{2}-d^{2}) = \frac{\pi}{4}\bigl(0{,}3302^{2}-0{,}0508^{2}\bigr)\\ \mathrm{m^{2}} \approx 0{,}08354\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Volumes varridos por corrida (swept volumes) de cada lado:
    V_{s,h}=A_h\cdot L \approx 0{,}08562\cdot 0{,}2032 \approx 0{,}017404\\ \mathrm{m^{3}},
V_{s,r}=A_r\cdot L \approx 0{,}08354\cdot 0{,}2032 \approx 0{,}016973\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Volume varrido total por cilindro em uma revolução (duplo efeito: cada lado realiza uma admissão por volta):
    V_{s,\text{cyl}} = V_{s,h}+V_{s,r}\approx 0{,}034377\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Número de cilindros N=2. Cada cilindro é duplo efeito: em cada revolução cada cilindro admite uma vez no lado head e uma vez no lado rod. Rotação N_{rpm}=1200\\ \mathrm{rpm}.

Passo 4

Cálculo do rendimento volumétrico (lado por lado) usando a fórmula que incorpora o clearance:
A fórmula (usada em compressores reciprocantes) é
\eta_v = 1 + C\left[1 - \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1/n}\right],
onde C é o clearance (fração do volume varrido), p_1 é a pressão de admissão absoluta, p_2 a pressão de descarga absoluta e n o expoente politrópico.
  • Primeiro calcule a razão de pressão e a potência necessária: \frac{p_2}{p_1} = \frac{1701{,}325}{601{,}325}\approx 2{,}828.
\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1/n} = 2{,}828^{1/1{,}28} \approx 2{,}253.
  • Rendimento volumétrico no lado head:
    \eta_{v,h} = 1 + C_h\left[1 - \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1/n}\right] = 1 + 0{,}25\,(1 - 2{,}253)\approx 0{,}68675.
  • Rendimento volumétrico no lado rod:
    \eta_{v,r} = 1 + C_r\left[1 - \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1/n}\right] = 1 + 0{,}15\,(1 - 2{,}253)\approx 0{,}81205.
Explicação intuitiva: o termo \left(\dfrac{p_2}{p_1}\right)^{1/n} representa a fração do volume de clearance que permanece ocupada pelo gás comprimido e que volta a expandir-se no início da sucção — quanto maior este termo, maior a perda volumétrica. O clearance maior no side head causa menor \eta_{v,h}.

Passo 5

Rendimento volumétrico médio (ponderado pelos volumes varridos de cada lado) e vazão volumétrica real:
  • Volume admitido por volta por cilindro (somando os dois lados, cada lado com seu \eta_v):
    V_{\text{adm,por rev, cil}} = \eta_{v,h}\,V_{s,h} + \eta_{v,r}\,V_{s,r}.
    Numérico:
    V_{\text{adm,por rev, cil}} \approx 0{,}68675\cdot 0{,}017404 + 0{,}81205\cdot 0{,}016973 \approx 0{,}025731\\ \mathrm{m^{3}/rev}.
  • Volume admitido por revolução total (2 cilindros):
    V_{\text{adm,por rev,total}} = N\cdot V_{\text{adm,por rev, cil}} = 2\cdot 0{,}025731 = 0{,}051462\\ \mathrm{m^{3}/rev}.
  • Vazão volumétrica real (m^{3}/s):
    Q = V_{\text{adm,por rev,total}}\cdot\frac{N_{rpm}}{60} =0{,}051462\cdot\frac{1200}{60}\\ \mathrm{m^{3}/s} \approx 1{,}02924\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Para referência, o rendimento volumétrico médio por cilindro (ponderado) também é:
    \eta_{v,\text{médio}}=\frac{V_{\text{adm,por rev, cil}}}{V_{s,\text{cyl}}} \approx \frac{0{,}025731}{0{,}034377}\approx 0{,}7487.é

Passo 6

Cálculo da vazão mássica de gás admitida ( \dot m) usando a equação do gás real na admissão com o fator de compressibilidade Z_1:
A relação é
\dot m = \frac{Z_1\,p_1\,Q}{R\,T_1},
onde Q é a vazão volumétrica na condição de admissão (m^{3}/s), p_1 é a pressão absoluta de admissão (Pa), R é a constante do gás específico (J/kg·K) e T_1 a temperatura absoluta (K).
Substituindo os valores:
\dot m \approx \frac{0{,}988\cdot(601{,}325\times 10^{3})\cdot 1{,}02924}{475{,}40\cdot 305{,}15}\\ \mathrm{kg/s}.
Cálculo numérico:
  • Numerador: 0{,}988\cdot 601{,}325\times 10^{3}\cdot 1{,}02924 \approx 6{,}11141\times 10^{5}.
  • Denominador: 475{,}40\cdot 305{,}15 \approx 1{,}45068\times 10^{5}.
Logo
\dot m \approx \frac{6{,}11141\times 10^{5}}{1{,}45068\times 10^{5}}\\ \mathrm{kg/s}\approx 4{,}213\\ \mathrm{kg/s}.
Explicação: usei Z_1 para corrigir a equação de estado na condição de admissão. Como Z_1 é próximo de 1 (0,988), o efeito é pequeno, mas correto incluí‑lo.

Passo 7

Cálculo do trabalho específico de compressão (por kg) para processo politrópico de p_1 a p_2:
Para processo politrópico (expoente n) e gás ideal (ou aproximação), a expressão do trabalho específico é
w = \frac{n}{n-1}\,R\,T_1\left[\left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{n-1}{n}}-1\right].
Aqui R é a constante específica (J/kg·K), T_1 a temperatura de admissão (K), e \dfrac{p_2}{p_1} a razão de pressões.
Calculemos os termos:
  • Exponente \dfrac{n-1}{n} = \dfrac{1{,}28-1}{1{,}28}=0{,}21875.
  • \left(\dfrac{p_2}{p_1}\right)^{(n-1)/n} = 2{,}828^{0{,}21875}\approx 1{,}255.
  • Fator \dfrac{n}{n-1}=\dfrac{1{,}28}{0{,}28}\approx 4{,}5714286.
Agora
w \approx 4{,}5714286\cdot 475{,}40\cdot 305{,}15\cdot(1{,}255-1).
Numérico:
  • R\,T_1 \approx 475{,}40\cdot 305{,}15 \approx 1{,}45068\times 10^{5}\\ \mathrm{J/kg}.
  • Termo entre colchetes \approx 0{,}255.
Portanto
w \approx 4{,}5714286\cdot 1{,}45068\times 10^{5}\cdot 0{,}255 \approx 1{,}6906\times 10^{5}\\ \mathrm{J/kg}
ou seja
w \approx 169{,}060\\ \mathrm{J/kg}.
Breve explicação didática: essa fórmula vem da integração w=\int p\,dv assumindo p v^{n}= const; para gás ideal v=R T/p aparece o termo R T_1 e a dependência em (p_2/p_1)^{(n-1)/n}.

Passo 8

Potência indicada e potência no eixo considerando os rendimentos:
  • Potência indicada (energia por segundo absorvida pelo fluido, antes de perdas termodinâmicas e mecânicas):
    P_{i} = \dot m\cdot w \approx 4{,}213\\ \mathrm{kg/s}\cdot 169{,}060\\ \mathrm{J/kg}\approx 7{,}119\times 10^{5}\\ \mathrm{W}.
    Ou seja P_i\approx 711{,}9\\ \mathrm{kW}.
  • Agora corrigimos pelo rendimento termodinâmico: se \eta_{th}=0{,}82 é o rendimento que relaciona o trabalho ideal (calculado) com o trabalho real no cilindro, então o trabalho real absorvido será maior, aproximadamente P_i/\eta_{th}. (Explicação: \eta_{th} é a eficiência do processo termodinâmico; o trabalho real no cilindro é P_i/\eta_{th}.)
    P_{\text{no cilindro, real}} = \frac{P_i}{\eta_{th}} \approx \frac{711{,}900}{0{,}82}\\ \mathrm{W}\approx 868{,}170\\ \mathrm{W}.
  • Finalmente, para obter a potência no eixo (potência de acionamento necessária no motor), dividimos pela eficiência mecânica \eta_{m}=0{,}923 (perdas por atrito, inúteis):
    P_{\text{eixo}} = \frac{P_{\text{no cilindro, real}}}{\eta_{m}} = \frac{P_i}{\eta_{th}\,\eta_{m}} \approx \frac{711{,}900}{0{,}82\cdot 0{,}923}\\ \mathrm{W}.
Cálculo numérico final:
P_{\text{eixo}} \approx \frac{711{,}900}{0{,}75786}\\ \mathrm{W}\approx 939{,}000\\ \mathrm{W}\\ \text{(aprox)}.
Com os números mais exatos usados nos cálculos anteriores, obtive:
P_{\text{eixo}} \approx 940{,}9\\ \mathrm{kW}\\ (\text{aprox}).

Resposta

P_{\text{eixo}}\approx 941\\ \mathrm{kW}

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