Calcular o resto da divisão por 31 de:
3^64.

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 3^64 por 31. Vamos usar aritmética modular e, em particular, o Teorema de Fermat, que diz que para primo p e inteiro a com pnmid a vale
a^p-1equiv1pmod p

Passo 2

Como 31 é primo e 3 não é múltiplo de 31, pelo Teorema de Fermat temos
3^30equiv1pmod31
Podemos reescrever o expoente 64 como 64=2cdot30+4, logo
3^64=3^2cdot30+4=(3^30)^2cdot3^4equiv1^2cdot3^4pmod31

Passo 3

Basta calcular 3^4 e reduzir módulo 31:
3^4=81, 81div31 dá quociente 2 e resto 81-2cdot31=19 á
Logo 3^4equiv19pmod31 e, consequentemente, 3^64equiv19pmod31.

Resposta

19

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