Calcular o resto da divisão por 31 de:
2^13^98765;

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de
2^13^98765
por 31. O conteúdo principal aqui é aritmética modular, em especial o Teorema de Euler (ou de Fermat) para simplificar a potência.

Passo 2

Como 31 é primo, temos phi(31)=30 e, como gcd(2,31)=1, o Teorema de Euler diz que
2^kequiv 2^k bmod 30pmod31
Portanto basta encontrar
k equiv 13^98765pmod30

Passo 3

Para calcular 13^98765bmod 30, notamos que gcd(13,30)=1 e phi(30)=8. Aplicando o Teorema de Euler em módulo 30 temos
13^98765equiv 13^98765 bmod 8pmod30

Passo 4

Calculamos o expoente módulo 8:
98765 div 8 =12345 com resto 5,
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98765 bmod 8 =5
Agora
13^5 = 13^4cdot13 equiv 1cdot13 =13pmod30,
pois 13^2equiv 19pmod30 e 13^4equiv 19^2equiv 1pmod30.

Passo 5

Concluímos que
13^98765equiv 13pmod30,
então
2^13^98765equiv 2^13pmod31

Passo 6

Para achar 2^13bmod 31, observe que
2^5=32equiv1pmod31
Escrevendo 13=5cdot2+3
2^13=(2^5)^2cdot2^3equiv1^2cdot8=8pmod31

Resposta

O resto da divisão de 2^13^98765 por 31 é 8.

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