(28 pts) Considere o sistema linear nas variáveis x, y e z :
rlrl (k+2) x+2 y+ & (k^2+3 k+4) z & = & -2 k-2 x-y+2 z & = & 0 -x+4 y+2 z & = & 3
(a) (2 pts) Escreva o sistema lincar (1) na forma matricial.
(b) ( 5 pts) Determine uma matriz escalonada que seja equivalente por linha à matriz ampliada widehatA do sistema linear (1).
(c) Justificando pelo Teorema do Posto, encontre para quais valores reais de k o sistema linear (1) admite
(c1) (5 pts) uma única solução.
(c2) (5 pts) infinitas soluções.
(c3) (5 pts) nenhuma solução.
(d) (6 pts) Se k=-2, determine o conjunto solução do sistema linear (1).

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema
(k+2)x + 2y + l(k^2+3k+4r)z = -2k-2, x - y + 2z = 0, -,x + 4y + 2z = 3,
em que k é parâmetro. O conteúdo é resolução de sistema linear paramétrico por eliminação de Gauss e aplicação do Teorema do Posto para discutir existência e unicidade de soluções.

Passo 2

Para escrever na forma matricial basta notar , com

Passo 3

Montamos a matriz ampliada widehat A=[,Amid b,] e aplicamos eliminação de Gauss sem dividir por expressões que possam anular para certos k:
k+2 & 2 & k^2+3k+4 & -2k-2 1 & -1 & 2 & 0 -1 & 4 & 2 & 3 ;xrightarrow[R2rightarrowR1]; 1 & -1 & 2 & 0 k+2 & 2 & k^2+3k+4 & -2k-2 -1 & 4 & 2 & 3
Eliminando abaixo de 1 em coluna 1:
R2>=ts R2 - (k+2),R1, R3>=ts R3 + R1 ;longrightarrow; 1 & -1 & 2 & 0 0 & k+4 & k(k+1) & -2k-2 0 & 3 & 4 & 3
Em seguida, para limpar a coluna 2 em R3, fazemos
R3>=ts (k+4),R3 - 3,R2 ;longrightarrow; 1 & -1 & 2 & 0 0 & k+4 & k(k+1) & -2k-2 0 & 0 & -3k^2 + k +16 & 9(k+2)
Esta matriz está em forma escalonada equivalente a widehat A.

Passo 4

Pelo Teorema do Posto, comparamos e . O pivô na terceira linha na parte de é .
(c1) única solução
O sistema é determinado se , i.e.
(c2) infinitas soluções
Ocorreriam se , ou seja
Mas , que não satisfaz . Logo não há valor de com infinitas soluções.
(c3) nenhuma solução
Para inconsistência precisa
ôô
isto é
Portanto

Passo 5

Para k=-2 o sistema é determinado. Usamos a forma escalonada especial:
1 & -1 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 2 0 & 3 & 4 & 3 ;xrightarrowsubstackR3>=tsR3-tfrac32R2; 1 & -1 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 2 0 & 0 & 1 & 0
Da última linha vem z=0. Da segunda, 2y+2cdot0=2implies y=1. Da primeira, x -y +2z =0implies x -1=0implies x=1.

Resposta

(a)
A = k+2 & 2 & k^2+3k+4 1 & -1 & 2 -1 & 4 & 2 , b = -2k-203
(b) Uma forma escalonada equivalente é
1 & -1 & 2 & 0 0 & k+4 & k(k+1) & -2k-2 0 & 0 & -3k^2 + k +16 & 9(k+2)
(c1) Única solução se
k neq 1pmraiz1936
(c2) Infinitas soluções: nenhum k real.
(c3) Nenhuma solução se
k = 1pmraiz1936
(d) Para k=-2 a solução é
(x,y,z) = (1,,1,,0)

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