Calcular o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
\vec{F}(x, y, z)=\left(e^{x} \cdot \operatorname{sen}(y), e^{x} \cdot \cos (2 y), z^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial dado. As informações fornecidas são:
  • O campo vetorial é \vec{F}(x,y,z)=\left(e^{x}\cdot\operatorname{sen}(y),\,e^{x}\cdot\cos(2y),\,z^{2}\right).
  • É preciso encontrar \nabla\times\vec{F} (o rotacional de \vec{F}) em termos de x,y,z.

Passo 2

Definição e fórmula prática: o rotacional de um campo \vec{F}=(P,Q,R) é o vetor
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right).
Explicando devagar:
  • P(x,y,z), Q(x,y,z) e R(x,y,z) são as componentes do campo.
  • \dfrac{\partial}{\partial x}, \dfrac{\partial}{\partial y}, \dfrac{\partial}{\partial z} são derivadas parciais: ao derivar em relação a uma variável, trata-se as outras como constantes.
    Na nossa questão temos
P(x,y,z)=e^{x}\operatorname{sen}(y),\qquad Q(x,y,z)=e^{x}\cos(2y),\qquad R(x,y,z)=z^{2}.

Passo 3

Calcular a primeira componente do rotacional:
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial (z^{2})}{\partial y}=0,
porque z^{2} não depende de y.
\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial \big(e^{x}\cos(2y)\big)}{\partial z}=0,
porque e^{x}\cos(2y) não depende de z.
Portanto a primeira componente é
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=0-0=0.

Passo 4

Calcular a segunda componente do rotacional:
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial \big(e^{x}\operatorname{sen}(y)\big)}{\partial z}=0,
porque e^{x}\operatorname{sen}(y) não depende de z.
\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial (z^{2})}{\partial x}=0,
porque z^{2} não depende de x.
Logo a segunda componente é
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=0-0=0.

Passo 5

Calcular a terceira componente do rotacional:
Primeiro, a derivada parcial de Q em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial \big(e^{x}\cos(2y)\big)}{\partial x}=e^{x}\cos(2y),
explicação: ao derivar e^{x} em relação a x obtém-se e^{x} e \cos(2y) é tratado como constante.
Agora a derivada parcial de P em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial \big(e^{x}\operatorname{sen}(y)\big)}{\partial y}=e^{x}\cos(y),
explicação: ao derivar \operatorname{sen}(y) obtém-se \cos(y) e e^{x} é constante relativamente a y.
Portanto a terceira componente é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=e^{x}\cos(2y)-e^{x}\cos(y)=e^{x}\big(\cos(2y)-\cos(y)\big).

Passo 6

Juntando as três componentes obtidas, o rotacional é
\nabla\times\vec{F}=\left(0,\;0,\;e^{x}\big(\cos(2y)-\cos(y)\big)\right).
Comentário curto de reforço: a maior parte das componentes foi zero porque R depende só de z e P,Q não dependem de z; a única diferença não-nula surge das derivadas mistas envolvendo x e y.

Resposta

\nabla\times\vec{F}=\left(0,\;0,\;e^{x}\big(\cos(2y)-\cos(y)\big)\right)

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