Calcular o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial dado. As informações fornecidas são:
- O campo vetorial é
. - É preciso encontrar
(o rotacional de ) em termos de .
Passo 2
Definição e fórmula prática: o rotacional de um campo
é o vetor
Explicando devagar:
-
, e são as componentes do campo. -
, , são derivadas parciais: ao derivar em relação a uma variável, trata-se as outras como constantes.
Na nossa questão temos
Passo 3
Calcular a primeira componente do rotacional:
porque
não depende de
.
porque
não depende de
.
Portanto a primeira componente é
Portanto a primeira componente é
Passo 4
Calcular a segunda componente do rotacional:
porque
não depende de
.
porque
não depende de
.
Logo a segunda componente é
Logo a segunda componente é
Passo 5
Calcular a terceira componente do rotacional:
Primeiro, a derivada parcial de em relação a
:
Primeiro, a derivada parcial de
explicação: ao derivar
em relação a
obtém-se
e
é tratado como constante.
Agora a derivada parcial de em relação a
:
Agora a derivada parcial de
explicação: ao derivar
obtém-se
e
é constante relativamente a
.
Portanto a terceira componente é
Portanto a terceira componente é
Passo 6
Juntando as três componentes obtidas, o rotacional é
Comentário curto de reforço: a maior parte das componentes foi zero porque
depende só de
e
não dependem de
; a única diferença não-nula surge das derivadas mistas envolvendo
e
.