Calcular o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
\vec{F}(x, y, z)=2 x^{2} y, 3 x z,-2 y z^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional (ou curl) do campo vetorial dado. As informações fornecidas são:
  • Campo vetorial: \vec{F}(x,y,z) = \bigl(2 x^{2} y,\; 3 x z,\; -2 y z^{2}\bigr).
  • Objetivo: encontrar \nabla \times \vec{F} — isto é, o vetor formado pelas componentes do rotacional.

Passo 2

Vou escrever uma fórmula prática e clara para o rotacional em coordenadas cartesianas. Se \vec{F} = \bigl(F_{1},F_{2},F_{3}\bigr), então o rotacional é dado por
\nabla \times \vec{F} = \left(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z},\; \frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x},\; \frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\right).
Explicando devagar: cada \partial/\partial x ou \partial/\partial y é uma derivada parcial — ao derivar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes. Por exemplo, ao derivar 2 x^{2} y em relação a y, x é constante, então o resultado é 2 x^{2}.

Passo 3

Identifico as componentes do campo:
F_{1}(x,y,z)=2 x^{2} y,\qquad F_{2}(x,y,z)=3 x z,\qquad F_{3}(x,y,z)=-2 y z^{2}.
Agora calculo sistematicamente as derivadas parciais que aparecem na fórmula do rotacional.
Calculemos cada derivada e explique por que:
  • \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2 y z^{2}\bigr). Aqui z é tratado como constante, então é só derivar -2y em relação a y: \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial y}=-2 z^{2}.
  • \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(3 x z\bigr). Aqui x é constante, derivada de 3x\cdot z em relação a z é 3x: \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial z}=3 x.
  • \displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(2 x^{2} y\bigr). Como 2 x^{2} y não depende de z, a derivada é zero: \displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial z}=0.
  • \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2 y z^{2}\bigr). Aqui F_{3} não depende de x, logo \displaystyle \frac{\partial F_{3}}{\partial x}=0.
  • \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3 x z\bigr). Agora z é constante e a derivada de 3x é 3: \displaystyle \frac{\partial F_{2}}{\partial x}=3 z.
  • \displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2 x^{2} y\bigr). Aqui x é constante; derivando y obtemos \displaystyle \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=2 x^{2}.
Resumo das derivadas calculadas:
\frac{\partial F_{3}}{\partial y}=-2 z^{2},\quad \frac{\partial F_{2}}{\partial z}=3 x,\quad \frac{\partial F_{1}}{\partial z}=0,\quad \frac{\partial F_{3}}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial F_{2}}{\partial x}=3 z,\quad \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=2 x^{2}.

Passo 4

Substituo as derivadas na fórmula do rotacional e simplifico componente a componente.
Primeira componente (componente x):
\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z} = (-2 z^{2}) - (3 x) = -3 x - 2 z^{2}.
Segunda componente (componente y):
\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x} = 0 - 0 = 0.
Terceira componente (componente z):
\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y} = 3 z - 2 x^{2}.
Portanto o rotacional é o vetor formado por essas três componentes.

Passo 5

Como checagem rápida (opcional, mas boa prática): uma propriedade geral é que o divergente do rotacional de qualquer campo suficientemente suave é zero, i.e., \nabla\cdot(\nabla\times\vec{F})=0. Se calcular isso com o vetor encontrado, obtém-se
\frac{\partial}{\partial x}(-3 x - 2 z^{2}) + \frac{\partial}{\partial y}(0) + \frac{\partial}{\partial z}(3 z - 2 x^{2}) = -3 + 0 + 3 = 0,
confirmando a propriedade — isso dá um conforto extra de que os cálculos das derivadas provavelmente estão corretos.

Resposta

\nabla \times \vec{F} = \bigl(-3 x - 2 z^{2},\; 0,\; 3 z - 2 x^{2}\bigr)

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