Calcular o rotacional dos seguintes campos vetoriais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o rotacional (ou curl) do campo vetorial dado. As informações fornecidas são:
- Campo vetorial:
. - Objetivo: encontrar
— isto é, o vetor formado pelas componentes do rotacional.
Passo 2
Vou escrever uma fórmula prática e clara para o rotacional em coordenadas cartesianas. Se
, então o rotacional é dado por
Explicando devagar: cada
ou
é uma derivada parcial — ao derivar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes. Por exemplo, ao derivar
em relação a
,
é constante, então o resultado é
.
Passo 3
Identifico as componentes do campo:
Agora calculo sistematicamente as derivadas parciais que aparecem na fórmula do rotacional.
Calculemos cada derivada e explique por que:
-
. Aqui é tratado como constante, então é só derivar em relação a : -
. Aqui é constante, derivada de em relação a é : -
. Como não depende de , a derivada é zero: -
. Aqui não depende de , logo -
. Agora é constante e a derivada de é : -
. Aqui é constante; derivando obtemos
Resumo das derivadas calculadas:
Passo 4
Substituo as derivadas na fórmula do rotacional e simplifico componente a componente.
Primeira componente (componente
):
Segunda componente (componente
):
Terceira componente (componente
):
Portanto o rotacional é o vetor formado por essas três componentes.
Passo 5
Como checagem rápida (opcional, mas boa prática): uma propriedade geral é que o divergente do rotacional de qualquer campo suficientemente suave é zero, i.e.,
. Se calcular isso com o vetor encontrado, obtém-se
confirmando a propriedade — isso dá um conforto extra de que os cálculos das derivadas provavelmente estão corretos.