Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
x^{2}+\operatorname{arctg}(y)=\frac{\pi}{4} \mathrm{em}(0,1)

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva dada por
x^{2}+\operatorname{arctg}(y)=\frac{\pi}{4}
no ponto (0,1).
Informações importantes fornecidas:
  • A curva é definida implicitamente pela relação acima.
  • O ponto onde queremos a tangente é \,(x_0,y_0)=(0,1).
  • Objetivo: encontrar a equação da reta tangente nesse ponto.

Passo 2

Plano de solução (sem calcular ainda): para achar a reta tangente precisamos do coeficiente angular m=\dfrac{dy}{dx} da curva no ponto. Como a relação envolve y de forma implícita, vamos usar a diferenciação implícita para obter \dfrac{dy}{dx} em termos de x e y, depois avaliar em (0,1). Em seguida usamos a forma ponto-de-reta para escrever a equação da tangente:
y-y_0=m(x-x_0).

Passo 3

Aula rápida sobre diferenciação implícita e regra da cadeia:
  • Diferenciação implícita: quando y é função de x mas aparece numa equação sem estar isolada, derivamos ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como y(x). Sempre que derivarmos uma expressão que contenha y, aplicamos a regra da cadeia multiplicando pela derivada y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Derivada de \operatorname{arctg}(u) pela regra da cadeia: se u=u(x) então
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arctg}(u)\big)=\frac{u'}{1+u^{2}},
onde u'=\dfrac{du}{dx}. No nosso caso u=y(x), então
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arctg}(y)\big)=\frac{y'}{1+y^{2}}.
Exemplo curto para fixar: se y=x^{2}, então \dfrac{d}{dx}\operatorname{arctg}(x^{2})=\dfrac{2x}{1+x^{4}}.

Passo 4

Agora differentiamos ambos os lados da equação original em relação a x. Para \;x^{2}\; a derivada é 2x. Para \;\operatorname{arctg}(y)\; usamos a fórmula acima. A derivada do lado direito \dfrac{\pi}{4} (constante) é 0. Assim obtemos:
2x+\frac{y'}{1+y^{2}}=0,
onde y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 5

Isolando y' na expressão anterior:
\frac{y'}{1+y^{2}}=-2x
y'=-2x(1+y^{2}).
Expliquei passo a passo: multiplica-se ambos os lados por 1+y^{2} para obter y'.

Passo 6

Agora avaliamos y' no ponto (0,1). Substituindo x=0 e y=1 em \;y'=-2x(1+y^{2})\;:
y'(-)= -2\cdot 0\cdot\big(1+1^{2}\big)=0.
Portanto o coeficiente angular da reta tangente em (0,1) é m=0. Interpretação: a tangente é horizontal naquele ponto.

Passo 7

Construção da equação da reta tangente usando a forma ponto-de-reta:
y-y_0 = m(x-x_0),
com m=0 e (x_0,y_0)=(0,1). Substituindo:
y-1 = 0\cdot (x-0)\quad\Rightarrow\quad y=1.

Resposta

y=1

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