Determine a equação da reta tangente à curva no ponto indicado:
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente à curva dada por
no ponto
.
Informações importantes fornecidas:
Informações importantes fornecidas:
- A curva é definida implicitamente pela relação acima.
- O ponto onde queremos a tangente é
. - Objetivo: encontrar a equação da reta tangente nesse ponto.
Passo 2
Plano de solução (sem calcular ainda): para achar a reta tangente precisamos do coeficiente angular
da curva no ponto. Como a relação envolve
de forma implícita, vamos usar a diferenciação implícita para obter
em termos de
e
, depois avaliar em
. Em seguida usamos a forma ponto-de-reta para escrever a equação da tangente:
Passo 3
Aula rápida sobre diferenciação implícita e regra da cadeia:
- Diferenciação implícita: quando
é função de mas aparece numa equação sem estar isolada, derivamos ambos os lados da equação em relação a , tratando como . Sempre que derivarmos uma expressão que contenha , aplicamos a regra da cadeia multiplicando pela derivada . - Derivada de
pela regra da cadeia: se então
onde
. No nosso caso
, então
Exemplo curto para fixar: se
, então
.
Passo 4
Agora differentiamos ambos os lados da equação original em relação a
. Para
a derivada é
. Para
usamos a fórmula acima. A derivada do lado direito
(constante) é
. Assim obtemos:
onde
.
Passo 5
Isolando
na expressão anterior:
Expliquei passo a passo: multiplica-se ambos os lados por
para obter
.
Passo 6
Agora avaliamos
no ponto
. Substituindo
e
em
:
Portanto o coeficiente angular da reta tangente em
é
. Interpretação: a tangente é horizontal naquele ponto.
Passo 7
Construção da equação da reta tangente usando a forma ponto-de-reta:
com
e
. Substituindo: