Calcule a derivada direcional de cada uma das funções na direção do vetor diretor v dado:
\frac{e^{3 x+2 y}}{2 x y} ; v=(2,-4,6)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{e^{3x+2y}}{2xy}
e o vetor diretor v=(2,-4,6). O que se pede é a derivada direcional de f na direção de v.
Observação importante (incerteza): a função f é de duas variáveis (x,y), enquanto v tem três componentes. Isso cria uma inconsistência dimensional: não é possível usar diretamente um vetor em \mathbb{R}^3 como direção para uma função definida em \mathbb{R}^2. Não tenho como perguntar ao autor do enunciado, então assumirei que o vetor direção correto é o vetor formado pelas duas primeiras componentes de v, ou seja v=(2,-4). Aviso que não tenho certeza sobre a origem do 6 em v; estou descartando-o por essa incompatibilidade.
O que vou calcular, portanto, é a derivada direcional de f em direção ao vetor v=(2,-4), dada de forma geral (isto é, como função de (x,y)), usando a definição via gradiente e vetor unitário.

Passo 2

Lembrete conceitual (passo-a-passo didático):
  • A derivada direcional de f na direção de um vetor unitário u em um ponto (x,y) é
D_{u}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot u,
onde \nabla f(x,y)=(f_x(x,y),f_y(x,y)) é o vetor gradiente formado pelas derivadas parciais.
  • Se o vetor diretor dado for v, primeiro normalizamos v para obter u=\dfrac{v}{\|v\|}.
  • Para obter f_x e f_y usamos as regras usuais: regra do quociente e regra da cadeia. Vou mostrar cada derivada detalhadamente.

Passo 3

Calcular f_x(x,y) (derivada parcial em relação a x) passo a passo.
Escrevendo f=\dfrac{N}{D} com N=e^{3x+2y} e D=2xy.
  • Derivada de N em relação a x: N_x=3e^{3x+2y} (regra da cadeia: derivada de 3x+2y em x é 3).
  • Derivada de D em relação a x: D_x=2y.
Aplicando a regra do quociente:
f_x=\frac{N_x D - N D_x}{D^2} =\frac{3e^{3x+2y}\cdot(2xy)-e^{3x+2y}\cdot(2y)}{(2xy)^2}.
Fatorando e^{3x+2y}\cdot 2y no numerador:
f_x=\frac{e^{3x+2y}\cdot 2y\,(3x-1)}{4x^2y^2}.
Cancelando fatores:
f_x=\frac{e^{3x+2y}\,(3x-1)}{2x^2y}.

Passo 4

Calcular f_y(x,y) (derivada parcial em relação a y) passo a passo.
  • Derivada de N em relação a y: N_y=2e^{3x+2y}.
  • Derivada de D em relação a y: D_y=2x.
Usando a regra do quociente:
f_y=\frac{N_y D - N D_y}{D^2} =\frac{2e^{3x+2y}\cdot(2xy)-e^{3x+2y}\cdot(2x)}{(2xy)^2}.
Fatorando e^{3x+2y}\cdot 2x no numerador:
f_y=\frac{e^{3x+2y}\cdot 2x\,(2y-1)}{4x^2y^2}.
Cancelando fatores:
f_y=\frac{e^{3x+2y}\,(2y-1)}{2xy^2}.

Passo 5

Normalizar o vetor direção v=(2,-4) para obter o vetor unitário u.
Calcular a norma:
\|v\|=\sqrt{2^2+(-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
Assim
u=\frac{v}{\|v\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional usando D_{u}f=\nabla f\cdot u. Então
D_{u}f(x,y)=f_x(x,y)\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}+f_y(x,y)\cdot\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) =\frac{f_x(x,y)-2f_y(x,y)}{\sqrt{5}}.
Substituindo as expressões encontradas para f_x e f_y:
f_x=\frac{e^{3x+2y}(3x-1)}{2x^2y},\qquad f_y=\frac{e^{3x+2y}(2y-1)}{2xy^2},
obtemos
D_{u}f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{e^{3x+2y}(3x-1)}{2x^2y}-2\cdot\frac{e^{3x+2y}(2y-1)}{2xy^2}\right).

Passo 7

Fatorar e simplificar a expressão final:
Fatorando e^{3x+2y}/2 em evidência:
D_{u}f(x,y)=\frac{e^{3x+2y}}{2\sqrt{5}}\left(\frac{3x-1}{x^2y}-\frac{2(2y-1)}{xy^2}\right).
Colocando em denominador comum x^2y^2 e simplificando o numerador:
\frac{3x-1}{x^2y}=\frac{(3x-1)y}{x^2y^2},\qquad \frac{2(2y-1)}{xy^2}=\frac{x(4y-2)}{x^2y^2}.
Logo o termo entre parênteses vira
\frac{(3x-1)y - x(4y-2)}{x^2y^2} =\frac{-xy - y + 2x}{x^2y^2} =\frac{2x - y(x+1)}{x^2y^2}.
Portanto a expressão final simplificada é
D_{u}f(x,y)=\frac{e^{3x+2y}\,\big(2x - y(x+1)\big)}{2\sqrt{5}\;x^{2}y^{2}}.
Observação final: esta fórmula vale onde f e suas derivadas estão definidas, ou seja para x\neq 0 e y\neq 0. Lembre-se que assumi v=(2,-4) porque o enunciado deu três componentes; se a intenção fosse usar o vetor em \mathbb{R}^3 ou outra coisa, a resposta mudaria.

Resposta

\frac{e^{3x+2y}\,\big(2x - y(x+1)\big)}{2\sqrt{5}\;x^{2}y^{2}}

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