Calcule a derivada direcional de cada uma das funções na direção do vetor diretor v dado:
Passo 1
O enunciado dá a função
e o vetor diretor
. O que se pede é a derivada direcional de
na direção de
.
Observação importante (incerteza): a função
é de duas variáveis
, enquanto
tem três componentes. Isso cria uma inconsistência dimensional: não é possível usar diretamente um vetor em
como direção para uma função definida em
. Não tenho como perguntar ao autor do enunciado, então assumirei que o vetor direção correto é o vetor formado pelas duas primeiras componentes de
, ou seja
. Aviso que não tenho certeza sobre a origem do
em
; estou descartando-o por essa incompatibilidade.
O que vou calcular, portanto, é a derivada direcional de
em direção ao vetor
, dada de forma geral (isto é, como função de
), usando a definição via gradiente e vetor unitário.
Passo 2
Lembrete conceitual (passo-a-passo didático):
- A derivada direcional de
na direção de um vetor unitário em um ponto é
onde
é o vetor gradiente formado pelas derivadas parciais.
- Se o vetor diretor dado for
, primeiro normalizamos para obter . - Para obter
e usamos as regras usuais: regra do quociente e regra da cadeia. Vou mostrar cada derivada detalhadamente.
Passo 3
Calcular
(derivada parcial em relação a
) passo a passo.
Escrevendo
com
e
.
- Derivada de
em relação a : (regra da cadeia: derivada de em é ). - Derivada de
em relação a : .
Aplicando a regra do quociente:
Fatorando
no numerador:
Cancelando fatores:
Passo 4
Calcular
(derivada parcial em relação a
) passo a passo.
- Derivada de
em relação a : . - Derivada de
em relação a : .
Usando a regra do quociente:
Fatorando
no numerador:
Cancelando fatores:
Passo 5
Normalizar o vetor direção
para obter o vetor unitário
.
Calcular a norma:
Assim
Passo 6
Calcular a derivada direcional usando
. Então
Substituindo as expressões encontradas para
e
:
obtemos
Passo 7
Fatorar e simplificar a expressão final:
Fatorando
em evidência:
Colocando em denominador comum
e simplificando o numerador:
Logo o termo entre parênteses vira
Portanto a expressão final simplificada é
Observação final: esta fórmula vale onde
e suas derivadas estão definidas, ou seja para
e
. Lembre-se que assumi
porque o enunciado deu três componentes; se a intenção fosse usar o vetor em
ou outra coisa, a resposta mudaria.