Calcular a seguinte integral dupla usando uma mudança de variavéis apropiada
integral0^2 integral0^raiz4-x^2 cos (x^2+y^2) d y d x sin (4)6 raiz8

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral0^2integral0^raiz4-x^2cosl(x^2+y^2r),dy,dx
sobre a região limitada pelo quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante.
O conteúdo principal é o uso de coordenadas polares e a substituição apropriada para tratar de cos(r^2).

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, dx,dy = r,dr,dtheta
A região 0<= x<=2, 0<= y<=raiz4-x^2 vira
0<= r<=2, 0<= theta<= pi2
Assim a integral fica
integraltheta=0^pi/2integralr=0^2cosl(r^2r),r,dr,dtheta

Passo 3

Separamos as integrais em r e theta:
integral0^pi/2dtheta;integral0^2rcosl(r^2r),dr =pi2integral0^2rcosl(r^2r),dr
Para a parte radial, usamos u=r^2, logo du=2r,dr, ou seja r,dr=tfrac12du. Os limites em u vão de 0 a 4.

Passo 4

Computando a integral em u:
integral0^2rcosl(r^2r),dr =12integral0^4cos(u),du =12l[sin(u)r]0^4 =12sin(4)
Multiplicando pelo fator tfracpi2 de theta obtemos
pi2cdot12sin(4) =pi4,sin(4)

Resposta

pi4sin(4)

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