Classifique os sistemas a seguir com relação à linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-Estabilidade:
(l) y(t)=integralt-4^t+2 x(beta-1) d beta

Passo 1

O enunciado dá o sistema
y(t)=integralt-4^,t+2 x(beta-1),dbeta
e pede para classificar: linearidade, invariância no tempo, causalidade, memória e BIBO-estabilidade. Para isso precisamos conhecer as definições:
  • Linearidade: admite superposição e homogeneidade.
  • Invariância no tempo: deslocar a entrada desloca a saída do mesmo modo.
  • Causalidade: y(t) só pode depender de x(tau) para tau<= t.
  • Memória: tem memória se y(t) usa valores de x em instantes neq t.
  • BIBO-estabilidade: resposta a entrada limitada deve ser limitada; equivalente a ter resposta ao impulso de norma L^1 finita.

Passo 2

Verificamos a linearidade. Seja x1, x2 duas entradas e a,b escalares. Então
T[a,x1+b,x2](t) =integralt-4^t+2l[a,x1(beta-1)+b,x2(beta-1)r]dbeta =a!integralt-4^t+2x1(beta-1)dbeta +b!integralt-4^t+2x2(beta-1)dbeta =a,T[x1](t)+b,T[x2](t)
Logo é um sistema linear.

Passo 3

Testamos invariância no tempo: defina x'(t)=x(t-t0). Então
T[x'](t) =integralt-4^t+2x'(beta-1),dbeta =integralt-4^t+2x(beta-1-t0),dbeta
Fazendo alpha=beta-t0 obtemos
T[x'](t) =integralt-t0-4^,t-t0+2x(alpha-1),dalpha =y(t-t0)
Portanto é invariante no tempo.

Passo 4

Para causalidade, note que y(t) envolve x(beta-1) com betain[t-4,t+2], ou seja beta-1in[t-5,t+1]. Há dependência de x em instantes maiores que t (até t+1), logo o sistema é não causal.

Passo 5

Para memória, um sistema é sem memória se y(t) depender apenas de x(t). Aqui usa x em instantes diferentes de t, logo possui memória.

Passo 6

Para verificar BIBO-estabilidade, escrevemos em forma de convolução. Fazendo
onde
á
A norma é
Como , o sistema é BIBO-estável.

Resposta

Linear, invariante no tempo, não causal, possui memória e é BIBO-estável.

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