Exemplo

Sabe-se que o campo F(x, y)=(e^x+y+1) i+e^x+y j é um campo conservativo em R^2.
a) Encontre uma função potencial para F.
b) Calcule integralC F cdot d r onde C é o arco de circunferência (x-1)^2+(y-12)^2=14, com x >= 1 que vai de (1,0) a (1,1).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo
F(x,y) = l(e^x+y+1r),i + e^x+y,j,
informa que ele é conservativo em R^2 e pede:
a) encontrar uma função potencial f tal que nabla f=F;
b) calcular integralC Fcdot dr ao longo do arco de circunferência
(x-1)^2+l(y-tfrac12r)^2=tfrac14, x>=1,
que vai de (1,0) a (1,1).

Passo 2

Para achar f(x,y) usamos as componentes:
partial fpartial x=e^x+y+1.
Integrando em x,
f(x,y)=integrall(e^x+y+1r),dx = e^x+y + x + h(y),
onde h é função de y.
Em seguida impomos
partial fpartial y = e^x+y + h'(y)
e igualamos à componente j de F, que é e^x+y.
Logo h'(y)=0, ou seja, h(y) é constante.
Assim uma função potencial é
f(x,y)=e^x+y+x + C

Passo 3

Como F é conservativo, a integral de linha depende só dos pontos finais:
integralC Fcdot dr = fl(1,1r) - fl(1,0r)

Passo 4

Calculamos
f(1,1)=e^1+1+1 = e^2+1, f(1,0)=e^1+0+1 = e+1
Logo
integralC Fcdot dr = l(e^2+1r) - l(e+1r) = e^2 - e

Resposta

a) f(x,y)=e^x+y+x+C.
b) integralCFcdot dr=e^2-e.

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