Determine o conjunto de pontos de
onde
não é diferenciável, sendo:
Passo 1
O enunciado pede o conjunto de pontos em
onde
não é diferenciável. O que vamos usar é que
é composição de duas funções:
Logo,
só pode falhar em ser diferenciável onde
falha.
Passo 2
Mostramos primeiro que
é diferenciável em todo ponto
. De fato, quando
temos argumento positivo dentro da raiz, e a aplicação
é
para
. Como
é
em todo
, a composição
é
sempre que
. Portanto
(e logo
) é diferenciável em
.
Passo 3
Resta verificar diferenciabilidade de
em
. Primeiro note que
e para quaisquer
temos a estimativa
Logo,
Isto mostra que existe diferencial de
g em
(0,0) e que é o mapa linear nulo. Portanto
g é diferenciável em todo
R^2 .
Passo 4
Como
g é diferenciável em toda parte e a função exponencial é
C^infty em
R , a composição
é diferenciável em todo
R^2 .
Resposta
O conjunto de pontos onde
f não é diferenciável é