Determine o conjunto de pontos de R^2 onde f não é diferenciável, sendo:
f(x, y)=e^raizx^4+y^4

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de pontos em R^2 onde
f(x,y) = e^raizx^4 + y^4
não é diferenciável. O que vamos usar é que f é composição de duas funções:
g(x,y)=raizx^4+y^4, f(x,y)=e^,g(x,y)
Logo, f só pode falhar em ser diferenciável onde g falha.

Passo 2

Mostramos primeiro que g é diferenciável em todo ponto (x,y)neq(0,0). De fato, quando x^4+y^4>0 temos argumento positivo dentro da raiz, e a aplicação
smapsto raizs
é C^infty para s>0. Como (x,y)mapsto x^4+y^4 é C^infty em todo R^2, a composição g=raiz;cdot;circ(x^4+y^4) é C^infty sempre que x^4+y^4>0. Portanto g (e logo f) é diferenciável em R^2setminus(0,0).

Passo 3

Resta verificar diferenciabilidade de g em (0,0). Primeiro note que
g(0,0)=0,
e para quaisquer h,k temos a estimativa
raiz(h)^4+(k)^4;<=;raizl(h^2+k^2r)^2 ;=;h^2+k^2
Logo,
g(h,k)-g(0,0)raizh^2+k^2 =raizh^4+k^4raizh^2+k^2 <=h^2+k^2raizh^2+k^2 =raizh^2+k^2 ;xrightarrow(h,k)to(0,0);0
Isto mostra que existe diferencial de g em (0,0) e que é o mapa linear nulo. Portanto g é diferenciável em todo R^2.

Passo 4

Como g é diferenciável em toda parte e a função exponencial é C^infty em R, a composição
f(x,y)=e^,g(x,y)
é diferenciável em todo R^2.

Resposta

O conjunto de pontos onde f não é diferenciável é
varnothing

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