Calcular a seguinte integral tripla em coordenadas esféricas:
[
\int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9-x{2}}}{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{0}{\sqrt{9-x{2}-y^{2}}} z \sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}} d z d y d x \quad\left(\mathrm{H}=\frac{243 \pi}{5} \mathrm{~m}^{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral tripla
integral-3^3integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2integral0^raiz9-x^2-y^2zraizx^2+y^2+z^2,dz,dy,dx
essa região que é a metade “de cima” de uma esfera de raio 3. O conteúdo principal é usar coordenadas esféricas e a fórmula do Jacobiano para passar de (x,y,z) para (rho,phi,theta).

Passo 2

A região de integração em coordenadas esféricas é
0<=rho<=3, 0<=phi<=pi2, 0<=theta<=2pi,
pois phi mede o ângulo a partir do eixo z e a condição z>=0 fixa phi<=pi/2.

Passo 3

Em esféricas usamos
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
e o Jacobiano do volume é
O integrando é

Passo 4

Multiplicando o integrando pelo Jacobiano, a integral vira
integral0^2piintegral0^pi/2integral0^3rho^2cosphi,l(rho^2sinphir),drho,dphi,dtheta =integral0^2pidthetaintegral0^pi/2sinphicosphi,dphiintegral0^3rho^4,drho

Passo 5

Agora calculamos cada parte:
integral0^2pidtheta=2pi, integral0^pi/2sinphicosphi,dphi=integral0^1u,du=12, integral0^3rho^4,drho=3^55=2435

Passo 6

Multiplicando: 2pitimestfrac12timestfrac2435=tfrac243pi5

Resposta

243pi5,m^4

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