Calcular a seguinte integral tripla em coordenadas esféricas:
[
\int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9-x{2}}}{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{0}{\sqrt{9-x{2}-y^{2}}} z \sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}} d z d y d x \quad\left(\mathrm{H}=\frac{243 \pi}{5} \mathrm{~m}^{4}\right)
\int_{-3}^{3} \int_{-\sqrt{9-x{2}}}{\sqrt{9-x^{2}}} \int_{0}{\sqrt{9-x{2}-y^{2}}} z \sqrt{x{2}+y{2}+z^{2}} d z d y d x \quad\left(\mathrm{H}=\frac{243 \pi}{5} \mathrm{~m}^{4}\right)
Passo 1
O enunciado pede pra calcular a integral tripla
essa região que é a metade “de cima” de uma esfera de raio 3. O conteúdo principal é usar coordenadas esféricas e a fórmula do Jacobiano para passar de
para
.
Passo 2
A região de integração em coordenadas esféricas é
pois
mede o ângulo a partir do eixo
e a condição
fixa
.
Passo 3
Em esféricas usamos
e o Jacobiano do volume é
e o Jacobiano do volume é
O integrando é
Passo 4
Multiplicando o integrando pelo Jacobiano, a integral vira
Passo 5
Agora calculamos cada parte:
Passo 6
Multiplicando: