Verifique se a função é contínua no ponto especificado:
cl1-cos xx, & se x neq 0 0, & se x=0 no ponto x=0 ;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=1-cos xx, & xneq 00, & x=0
é contínua em x=0. O conteúdo necessário é definição de continuidade e cálculo de limite de funções.

Passo 2

Uma função f é contínua em x=0 se
limxto 0f(x)=f(0)
Aqui, precisamos comparar limxto 01-cos xx com f(0)=0.

Passo 3

Para calcular o limite, usamos a expansão de Taylor de cos x perto de 0:
cos x=1-x^22+o(x^2)
Logo,
$$
\frac{1-\cos x}{x}
=\frac{1-\bigl(1-\frac{x2}{2}+o(x2)\bigr)}{x}
=\frac{\frac{x2}{2}+o(x2)}{x}
=\frac{x}{2}+o(x).
1-cos xx =1-l(1-x^22+o(x^2)r)x =x^22+o(x^2)x =x2+o(x) \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0.$$

Passo 4

Sabemos que f(0)=0 por definição da função.
Como limxto 0f(x)=0=f(0), concluímos que f é contínua em x=0.

Resposta

A função é contínua em x=0.

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